定义在d上的函数f

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1、定义在D上的函数f（x），如果满足对任意x∈D，存在常数M＞0，都有

2、f（x）

3、≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界，已知函数f（x）=1+x+ax2（1）当a=-1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，并说明理由；（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．考点：函数的最值及其几何意义；函数单调性的性质．专题：计算题；综合题．分析：（1）当a=-1时，函数表达式为f（x）=1+x-x2，可得f（x）在（-∞，0）上是单调增函数，它的值域为（-∞，1）

4、，从而

5、f（x）

6、的取值范围是[0，+∞），因此不存在常数M＞0，使

7、f（x）

8、≤M成立，故f（x）不是（-∞，0）上的有界函数．（2）函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，即-3≤f（x）≤3在[1，4]上恒成立，代入函数表达式并化简整理，得-4x2-1x≤a≤2x2-1x在[1，4]上恒成立，接下来利用换元法结合二次函数在闭区间上最值的求法，得到（-4x2-1x）max=-12，（2x2-1x）min=-18，所以，实数a的取值范围是[-12，-18]．解答：解：（1）当a=-1时，函数f（x）=1+x-x2=-（x-12）2+54∴f（x）在（-∞，

9、0）上是单调增函数，f（x）＜f（0）=1∴f（x）在（-∞，0）上的值域为（-∞，1）因此

10、f（x）

11、的取值范围是[0，+∞）∴不存在常数M＞0，使

12、f（x）

13、≤M成立，故f（x）不是（-∞，0）上的有界函数．（2）若函数f（x）在x∈[1，4]上是以3为上界的有界函数，则

14、f（x）

15、≤3在[1，4]上恒成立，即-3≤f（x）≤3∴-3≤ax2+x+1≤3∴−x−4x2≤a≤−x+2x2，即-4x2-1x≤a≤2x2-1x在[1，4]上恒成立，∴（-4x2-1x）max≤a≤（2x2-1x）min，令t=1x，则t∈[14，1]设g（t）=-4t2-t=-4（t+18）

16、2+116，则当t=14时，g（t）的最大值为-12再设h（t）=2t2-t=2（t-14）2-18，则当t=14时，h（t）的最小值为-18∴（-4x2-1x）max=-12，（2x2-1x）min=-18所以，实数a的取值范围是[-12，-18]．点评：本题以一个特定的二次函数在闭区间上有界的问题为例，考查了函数单调性的性质和二次函数在闭区间上值域等知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离和换元法求值域的思想，并学会运用．