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《【题目】 (2007年天津卷)在r上定义的函数f (x)是偶函数,且f (x》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、题根研究抽象函数性质寻根一、抽象函数考场有约如果把用解析式定义的函数称为“具体函数”,那么,不用解析式而直接用性质定义的函数则可称为“抽象函数”.抽象函数在近年的考卷中频频出现，如2007年天津卷第7题就是抽象函数的例子.【例1】在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2–x)，若f(x)在区间［1，2］上是减函数，则f(x)A.在区间［–2，–1］上是增函数，在区间［3，4］上是增函数B.在区间［–2，–1］上是增函数，在区间［3，4］上是减函数C.在区间［–2，–1］上是减函数，在区间［3，4］上是增函数D.在区间
2、［–2，–1］上是减函数，在区间［3，4］上是减函数【分析】习惯于用具体解析式研究函数性质的人，对用抽象定义的函数往往感到不习惯.其实直接用抽象函数来解决函数问题，有时比用解析式还方便.本题就是这样的例子.【解答】B由函数是偶函数知函数的图像关于y轴对称，函数在区间［–2，–1］的单调性与在区间［1，2］的单调性相反，为增函数；由f(x)=f(2–x)知函数的图像关于直线x=1对称，故函数在区间［3，4］上的单调性与在区间［–2，–1］上的单调性相反，为减函数，所以选B.【点评】本题以抽象函数为载体考查了函数图像和函数的性质.抽
3、象函数的解法通常采用“形象法”——画图.按给出的性质画出符合性质的最简略图.如本题所画的略图如下——直线段示图——它符合题目给出的3条性质.【互动】抽象与形象互动.从函数略图上形象看到，这个函数是个周期函数，用函数的抽象性质证明如下：由f(x)=f(2–x)和f(–x)=f(x)可以推得f(x)=f(2+x)，由此可知f(x)是一个周期为2的周期函数的.从形象上还可看到，函数有无穷条对称轴x=m(m∈Z).因为x=0和x=1是它的对称轴，又函数的周期为2，故x=m都是它的对称轴.证明从略。【注意】对称性问题，要弄清：是一个函数本
4、身的对称，还是两个函数的对称.如由f(a+x)=f(b–x)得函数f(x)的图像关于直线对称，而函数y=f(a+xlocatedintheTomb,DongShenJiabang,deferthenextdayfocusedontheassassination.Linping,Zhejiang,1ofwhichliquorwinemasters(WuzhensaidinformationisCarpenter),whogotAfewbayonets,duetomissedfatal,whennightcame9)与y=f(b–x
5、)的图像关于直线对称.二、抽象函数函数集合用性质定义的抽象函数，它往往不是一个具体的函数，有时符合性质的函数是一类函数，或者说是一类函数的集合.如例1，符合给定的3条性质的函数除了简图中线段表示的函数外，还有没有其他的函数也含有这3条性质——我们继续研究例1.【例2】在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2–x)，若f(x)在区间［1，2］上是减函数，则函数f(x)可能是：A.sinπxB.–sinπxC.cosπxD.–cosπx【解答】D这4个函数的周期都是2.符合“偶函数”条件的只有C和D.而在区间［1，2］上
6、递减的只有D.故答案为D.图像如下【探究】例1中的函数f(x)，除了上述两图像表示的具体函数以外，还有没有其他的函数呢？显然，这个函数集合中的“元素”——多到无穷.如以下解析式表示的函数都是：f(x)=–Acosπx+m，其中A为正数，m为任意实数.那么，这里的f(x)到底是个什么函数呢？请不要老是往统一的解析式上寻找.它是一个函数集合，我们可以用集合的描述法表示如下：A={f(x)
7、f(x)是R上偶函数，f(x)=f(2–x)，f(x)在区间［1，2］上递减}像这样的抽象函数还有：B={f(x)
8、f(–x)=f(x)}是偶函数
9、的集合；C={f(x)
10、f(–x)=–f(x)}是奇函数的集合；D={f(x)
11、f(x+y)=f(x)+f(y)}是正比例函数的集合；E={f(x)
12、=}是一次函数的集合，等等.对这些抽象函数（集合），随着其他条件（性质）的添加，则抽象函数逐步提出它们的“子集”或“元素”.如在D中，限制条件f(1)=–2，则得到此集合中的一个“元素”：f(x)=–2x.locatedintheTomb,DongShenJiabang,deferthenextdayfocusedontheassassination.Linping,Zhejian
13、g,1ofwhichliquorwinemasters(WuzhensaidinformationisCarpenter),whogotAfewbayonets,duetomissedfatal,whennightcame9三、抽象函数用方程定义在7大数学思想中
