【数学】23个求极值和值域专题20

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1、23个求极值和值域专题tobeenough2.0版23个求极值和值域专题1、求函数的值域.2、求函数的值域.3、求函数的值域.4、求函数的值域.5、已知函数（其中）的值域是，求实数.6、已知：为正实数，且，求函数的最小值.7、已知：，求：的最小值.8、设函数在区间的最小值为，最大值为，求区间.9、已知：，求函数的最大值.10、求函数：的最小值.11、求函数：的值域.12、已知实数满足和，求的最小值.13、求函数：的最小值.14、已知：，求函数：的最小值.15、已知点在椭圆上，求的最大值.16、求函数：的值域.17、求函数：的值域.18、求函数：的最大值

2、.19、设：为正实数，且满足，试求：的最小值.20、已知为正实数，且满足，求：的最大值.21、设为锐角，求：的最小值.22、设为锐角，求证：.第20页23个求极值和值域专题tobeenough2.0版23、已知为正实数，求证：.23个求极值和值域专题解析1、求函数的值域.解析：函数的定义域为：.函数的导函数为：⑴当时，，则故即：函数在区间为单调递减函数，故：；故：函数在该区间的值域是.⑵当时，，则第20页23个求极值和值域专题tobeenough2.0版即：函数在区间为单调递增函数，故：；故：函数在该区间的值域是.综上，函数的值域是.本题采用导数的正负

3、来确定函数的增减，此法称为“单调性法”.2、求函数的值域.解析：函数的定义域是：.待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：，则柯西不等式为：即：令：，即：①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：②③由②得：，即：，即：④将①④代入③得：即：即：，即：⑤试解⑤，由于，则⑤式刚好也是3项相乘，不妨试解采用各项都是3.则：，且.则：，，代入④得：，即时函数取得极大值.函数极大值为第20页23个求极值和值域专题tobeenough2.0版⑴当时，函数在本区间为单调递增函数.故：即：函数在区间的值域是⑵当时，函数在本区间为单调递减函数.故：即：函数在区

4、间的值域是综上，函数的值域是.本题采用“待定系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.3、求函数的值域.解析：函数的定义域是：.待定系数法用于柯西不等式来解本题.设：，则柯西不等式为：即：令：，即：①由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得：②即：，即：，即：即：，即：，即：③将①式代入③式得：当时，函数达到极大值.极大值为：第20页23个求极值和值域专题tobeenough2.0版函数的导函数为：⑴当区间时，，函数单调递增.故：即：函数在本区间的值域是.⑵当区间时，，函数单调递减.故：即：函数在本区间的值域是.综上，函数的值域是.本题采用“待定

5、系数法”、“柯西不等式”和“单调性法”.4、求函数的值域.解析：函数的定义域是：.则函数为：（当时取负号，当时取正号）于是函数的极值在：即：即：，即：⑴在区间，函数的极值为：在区间的边界有：第20页23个求极值和值域专题tobeenough2.0版故：函数在该区间的值域是.⑵在区间，函数，为单调递减函数.故有：；故：函数在该区间的值域是.综上，函数的值域是.本题方法属“单调性法”5、已知函数（其中）的值域是，求实数.解析：函数的定义域为.将函数变形为：，即：其判别式不等式为：即：①而函数的值域是，即：，即：②对比①②两式得：，，即，因，故：故：实数，.

6、此法称为“判别式法”.6、已知：为正实数，且，求函数的最小值.第20页23个求极值和值域专题tobeenough2.0版解析：首先设，代入得：，即：，则：⑴当时，由均值不等式，即：得：则：⑵当时，由均值不等式，即：得：则：⑶当时，由均值不等式，即：代入已知条件，得：则：故：由⑴、⑵、⑶得，的最小值是.本题先确定均值，然后在均值和均值下求极值.此法称为“分别讨论法”.7、已知：，求：的最小值.解析：由已知条件得：代入得：即：令：，则方程变为：采用判别式法得：，即：，即：第20页23个求极值和值域专题tobeenough2.0版故：的最小值是.此题采用的是

7、“判别式法”8、设函数在区间的最小值为，最大值为，求区间.解析：首先，是一个偶函数，在区间单调递增，在区间单调递减.⑴当时，为单调递减函数，即：.故：是最大值为，是最小值为.即：即：（*）（*）两式相减得：，即：①则:，即：②（*）两式相加得：将①②式代入后化简得：③由①③得：，.则区间为.⑵当、时，的最大值是，即：.i.若，则的最小值为：，即：，解之及可得：，故此时区间为.ii.若则的最小值为：，即：，则：.不符合题设，即此时无解.⑶当时，由是一个偶函数可得：，故：第20页23个求极值和值域专题tobeenough2.0版是最小值为，是最大值为，即：

8、即：则：为一元二次方程的两个根，由韦达定理得：，则由得：异号，不符合题设，即此时无解.综上，区