专题一求函数值域十六法20141115

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1、求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。一、基本知识1.定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合)。2.函数值域常见的求解思路：(1).划归为儿类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。(2).反解函

2、数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。(3).nJ以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数y=/(x)看作是关于自变量兀的方程，在值域中任取一个值％,%对应的自变量兀。一定为方程y=在定义域中的一个解，即方程y=f(x)在定义域内有解；另一方面，若y取某值北，方程y=/(x)在定义域内有解心，则儿一定为兀对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于兀的方程y=f(x)在定义域内有解的y得取值范围。特别地，若函数可看成关于兀的一元二次方程，则可通

3、过一元二次方程在函数定义域内有解的条件,利用判别式求出函数的值域。(4).可以用函数的单调性求值域。(5).其他。3.函数值域的求法(1)、直接法：从自变量兀的范围出发，推11!y=/(x)的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例1：求函数y=Vx-I+a/x+1,(x1)的值域。例3：求函数)；=依+1的值域。解：VVx>0,AVx+1>1,・・・函数y皿+1的值域为[1,+8)。(2)、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F{x)=afx)+bfM+

4、c的函数的值域问题，均可使用配方法。例1：求函数y=-x2+4x+2(xe[-1,1])的值域。解：y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6,■:xg兀一2w[―3，一1],1W(%—2)2W9A-3<-(^-2)2+6<5,A-3<^<5・•・函数y=-x2+4x+2(xg［-1,1］)的值域为［-3,5］□(1).最值法：对于闭区I'可上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例1求函数y=3-2x-x2的值域。解：由3・2x・x2$0,解出定义域为［・3,1］。函数y在［・3,1］内是

5、连续的，在定义域内由3-2x-x2的最大值为4,最小值为0。・・・函数的值域是［0,2］例2：求函数y=2”，xg［-2,2］的值域。丄,4(73"例3：求函数y=-2/+5兀+6的值域。—°°，—<8(2)、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。l-2r例1：求函数y=的值域。1+2*1一V1一V解：由y二解得2A=,1+2”1+y1—VV2x>0,•••—>0,A-l

6、理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：己知分式函数竺艺(cho),如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内，cv+d值域为如果是条件定义域(对口变量有附加条件)，采用部分分式法将原函数化为cx+d(ad工be),用复合函数法来求值域。例X求函数"黒的值域。1—X2x+5--(2x+5)+-222x+522x+55+2X•••函数）=X2x4-5的值域为｛yIy工（6入换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y=ax+b±4cx+d（

7、a、b、c、d均为常数，且。工0）的函数常用此法求解。例1：求函数y=2x+V1^2x的值域。]_/2解：令t=y/l-2x（r>0）,则兀=,29195/•y=—厂+/+1=-（/——y+—24135•••当（=_,即x=-时，^max=-,无最小值。284・・・函数尸2兀+Vl-2x的值域为（-oo,-J。4（7）、判别式法：把惭数转化成关于x的二次方程F（x,y）=0；通过方程有实数根，判别式A>0,从而求得原函数的值域，形如y=竺+肚+6（坷、⑦不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。a2x^+/

8、?2x+c2例1：求函数y=X"+3的值域。x2-x+l解：由〉，=厂•变形得（y_l）x2_（y_l）x+y_3=0,jt-jc+I"当y=l时，此方程无解；当yHl时,VxeR,・・・△=()，—I)?—4(y—l)(y—3)»0,解得g斗又y斗_rIQ11・・・函数的值域为｛y

9、l