离散傅里叶变换（dft）课件

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1、第3章离散傅里叶变换（DFT）蒋明峰浙江理工大学3.1四种不同傅里叶变换对傅里叶级数(FS)：连续时间,离散频率的傅里叶变换。连续傅里叶变换(FT)：连续时间,连续频率的傅里叶变换。序列的傅里叶变换(DTFT):离散时间,连续频率的傅里叶变换.离散傅里叶变换(DFT):离散时间,离散频率的傅里叶变换1.连续傅里叶变换(FT)非周期连续时间信号通过连续付里叶变换(FT)得到非周期连续频谱密度函数。例子这以下变换对可以看出时域连续函数造成频域是非周期的谱,而是时域的非周期造成频域是连续的谱.2.傅里叶级数(FS)周期连续时间信号非周期离散频谱密度函

2、数。周期为Tp的周期性连续时间函数x(t)可展成傅里叶级数X(jkΩ0),是离散非周期性频谱,表示为:FS例子通过以下变换对可以看出时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数,而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数对应.(频域采样，时域周期延拓)3.序列的傅里叶变换(DTFT)非周期离散的时间信号(经过单位园上的Z变换(DTFT))得到周期性连续的频率函数。这里的ω是数字频率,它和模拟角频率Ω的关系为:ω=ΩT。如果把序列看成模拟信号的抽样，抽样时间间隔为T,抽样频率为fs=1/T,Ωs=2π/T,代入x(n)=x(nT)，ω=ΩT，则这一变换对

3、可写成同样可看出,时域的离散造成频率的周期延拓,而时域的非周期对应于频率的连续。4.离散傅里叶变换(DFT)上面讨论的三种傅里叶变换对,都不适用在计算机上运算,因为至少在一个域(时域或频域)中,函数是连续的.因为从数字计算角度,我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况,这就是我们这里要谈到的离散傅里叶变换.周期性离散时间信号从上可以推断：周期性时间信号可以产生频谱是离散的离散时间信号可以产生频谱是周期性的。得出其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。DFT的变换总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续

4、连续和周期非周期和离散离散和非周期周期和连续离散和周期周期和离散四种付里叶变换形式的归纳可以得出一般的规律：一个域的离散对应另一个域的周期延拓，一个域的连续必定对应另一个域的非周期。表对这四种傅里叶变换形式的特点作了简要归纳。3.3离散傅里叶级数(DFS)及性质1.周期序列的离散傅里叶级数若离散时间序列x(n)为周期序列，则一定满足：x(n)=x(n+rN)其中N（正整数)为信号的周期，r为任意整数。为了和非周期序列区分，周期序列记作：因为周期序列不是绝对可和，因此周期序列不能用傅里叶变换来表示，但是周期序列可以用傅里叶级数(DFS)来表示，傅

5、里叶级数(DFS)定义为：其中为周期序列傅里叶级数的系数，其大小为为了书写方便，常令符号这样周期序列的傅里叶变换对可以写为：正变换：反变换：例3-4设，将以N=10为周期作周期延拓，得到周期信号，求的DFS。解：3.4周期序列的傅里叶级数的性质(1)线性如果则有(2)移位则有：如果(3)调制特性设是周期为N的周期序列，则(4)周期卷积和若则有：记作：证代入得将变量进行简单换元，即可得等价的表示式周期卷积亦是一个卷积公式，但是它与非周期序列的线性卷积不同。首先，和（或和都是变量m的周期序列，周期为N，故乘积也是周期为N的周期序列;其次，求和只

6、在一个周期上进行，即m=0到N-1，所以称为周期卷积。周期卷积的过程可以用图6-7来说明，这是一个N=7的周期卷积。每一个周期里有一个宽度为4的矩形脉冲，有一个宽度为3的矩形脉冲，图中画出了对应于n=0,1,2时的。周期卷积过程中一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的同一位置的序列值就移入计算区间。运算在m=0到N-1区间内进行，即在一个周期内将与逐点相乘后求和，先计算出n=0,1,…,N-1的结果，然后将所得结果周期延拓，就得到所求的整个周期序列。图6-7两个周期序列（N=7）的周期卷积图6-7两个周期序列（N=7）的周期卷积图6-7

7、两个周期序列（N=7）的周期卷积例3-5两个周期序列N=6序列和如图(a),(b)所示，求他们的卷积和。解:-N012N-1Nm-N012N-1Nm-N012N-1Nm-N012N-1Nm(a)(b)-N012N-1Nm-N012N-1Nm-N012N-1Nm-N012N-1Nn5.周期序列相乘如果则3.5有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)3.5.1离散傅里叶变换的定义1.有限长序列与周期序列的性质设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0,1,…N-1有值，其他值时，x(n)=0。因此，可以把x(n)看作周期为N的周期序列的一个

8、周期，即也可利用矩形序列表示成为把看作有限长序列x(n)以N为周期的周期延拓，表示为通常我们把的第一个周期n=0,1,…,N-1定义为主值区间，称x(