离散傅里叶变换(DFT

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1、3.1离散傅里叶变换的定义3.2离散傅里叶变换的基本性质3.3频率域采样3.4DFT的应用举例第3章离散傅里叶变换(DFT)第三章学习目标理解Fourier变换的几种形式；理解离散傅里叶变换及性质，掌握循环移位、循环共轭对称性，掌握循环卷积、线性卷积及二者之间的关系；掌握频域采样理论；理解频谱分析过程。连续《===》非周期离散《===》周期四种傅里叶变换形式的归纳时间函数频率函数连续和非周期非周期和连续连续和周期（Tp）非周期和离散（Ω0=2π/Tp）离散（T）和非周期周期（Ωs=2π/T）和连续离散（T）和周期（Tp）周期（Ωs=

2、2π/T）和离散（Ω0=2π/Tp）周期延拓取主值周期延拓取主值DFTIDFTDFSIDFSDFT即DFS，只不过时、频域各取一个主值而已§3.1离散傅里叶变换的定义一.DFT的定义1.周期延拓（以N为周期）用((n))N表示（nmodN），其数学上就是表示“n对N取余数”，或称“n对N取模值”。令0≤n1≤N-1,m为整数则n1为n对N的余数。例如:是周期为N=8的序列，则有：2.取主值3.DFT定义式时、频域各取一个主值区间DFSDFT例：x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT解：设变换区间N=8，则设变换区间N=

3、16，则思考：其4点的DFT结果？X(ejw)=DTFT[R4(n)]讨论：N为DFT变换区间长度，即周期延拓的周期、频域的采样点数；同一序列，N不同，DFT不同；通过后补零使N增大，谱线变密——高密度谱二.DFT和Z变换的关系设序列x(n)的长度为N，其Z变换和DFT分别为：比较上面二式可得关系式表明是Z平面单位圆上幅角为的点，也即将Z平面单位圆N等分后的第k点，所以X(k)也就是对X(z)在Z平面单位圆上N点等间隔采样值。DFT与序列傅里叶变换的关系为DFT的物理意义——X(k)可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间

4、［0,2π］上的N点等间隔采样，其采样间隔为ωN=2π/N。DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系第一采样点在正实轴上三.DFT的隐含周期性DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于WNkn的周期性，使x(n)和X(k)均具有隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有均为整数已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，令，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。例题：解：DFT与DFS的关系：有限长度序列的DFT正好是其周期延拓序列的DFS级数系数的主值序列！§3.2离散傅里叶变换

5、的基本性质一.线性性质x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2y(n)=ax1(n)+bx2(n)式中a、b为常数，即N≥max［N1,N2］，则y(n)的N点DFT为：（补零问题！）Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2(k),0≤k≤N-1其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)的N点DFT。N≥max[N1,N2]已知x(n)是长度为N的有限长度序列，其N点DFT为X(k)=DFT[x(n)]，在序列前部补N个0值，得到序列试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。思考

6、题：二.循环移位1.定义一个长度为N的有限长序列x(n)的循环移位定义为y(n)=x((n+m))NRN(n)：仍为长度为N的序列！循环移位过程示意图移出主值区间的序列值又依次从另一侧移入主值区间12345n=0N=6左移顺时针转右移逆时针转2.时域循环移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)循环移位，即则循环移位后的DFT为证：利用周期序列的移位性质加以证明可直接按IDFT{Y(k)}证明再利用DFS和DFT关系这表明，有限长序列的循环移位在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相移，而对频谱的幅度没有影响——幅

7、度谱的平移不变性。已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，在序列前部补N个0值，得到序列试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。思考题：3.频域循环移位定理——调制特性对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的圆周上，所以对于X(k)的循环移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：这就是调制特性——时域序列的调制等效于频域的循环移位。序列反转序列共轭序列共轭反转序列反转四.循环卷积1、时域循环卷积定理有限长序列x1(n)和x2(n)，长度分别为N1和N2，N=max［N

8、1,N2］。x1(n)和x2(n)的N点DFT分别为：X1(k)=DFT［x1(n)］X2(k)=DFT［x2(n)］若Y(k)=X1(k)·X2(k)，求y(n)=IDFT[Y(k)]？NN循环卷积结果仍为有限长序列！注意：循环卷积