第三章 集合论基础

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1、第三章聚类分析第一节集合论基础第二节模糊集合的基本知识第三节模糊聚类分析第四节动态聚类分析第五节系统聚类分析第一节集合论基础集合论是进行系统分析的重要理论基础。尤其是其中许多概念，方法等，在系统分析中有哲广泛的应用。因此介绍有关集合论的基础知识，对深刻理解和掌握系统工程的基本理论和方法有着重要意义。一几个逻辑运算符号以上三个运算符号被广泛应用。下面用真值表来说明它们的物理意义。设P、Q为两个逻辑变量其取值为:则、∧、∨真值表如表３－１所示。表3-1、、、真值表由表３－１可知：逻辑非（）具有反意词的意义。如Ｐ代表学

2、生，则Ｐ表示不是学生；逻辑与（∧）、逻辑或（∨）代表两个逻辑变量的运算结果。对于逻辑与（∧）来讲，当Ｐ、Ｑ同时为Ｔ时，Ｐ∧Ｑ为Ｔ，否则为假（Ｆ）。对逻辑或（∨）来讲，则Ｐ与Ｑ至少有一个为Ｔ，Ｐ∨Ｑ为Ｔ，否则为（Ｆ）。对真值表的理解，从简单的开关电路中看的更为清楚。设Ｐ、Ｑ代表两个电源开关，开关关上为Ｔ，打开为Ｆ。电路的灯泡则代表逻辑与（∧）和逻辑或（∨），电灯泡亮为Ｔ，不亮为Ｆ。显然，图３－１开关串联电路中的灯泡亮与不亮则表示逻辑与（∧）的取值，图３－２的开关并联电路中的灯泡亮与不亮则表示逻辑或（∨）的取值。PQPQ

3、图3-1开关串联电路图3-2开关并联电路PQPQ４．条件语句条件语句是表示逻辑变量之间，或等式之间相互因果关系的一种表达形式,分为单向条件语句和双向条件语句。（１）单向条件语句记成“ＰＱ”，读作有Ｐ必有Ｑ。若Ｐ为Ｔ，且有Ｑ为Ｔ，则单向条件语句成立，ＰＱ＝Ｔ；反之若Ｐ为Ｔ，而Ｑ为Ｆ，则条件语句不成立，ＰＱ＝Ｆ。（２）双向条件语句记成“ＰＱ”，读作有Ｐ必有Ｑ，有Ｑ必有Ｐ。若Ｐ为Ｔ（Ｆ），且有Ｑ为Ｔ（F)，则双向条件语句成立，ＰＱ＝Ｔ；若Ｐ为Ｔ(F)，而Ｑ为F(Ｔ)，则条件语句不成立，ＰＱ＝Ｆ。同样，条件语句的物

4、理意义也可用真值表说明，见表３－２。表3-2条件语句真值表５．量词在数学描述式中，特别是在集合论中，经常用到下面两个量词：(１)万有量词，可读成“全部”、“所有”、“一切”…。如∈，等。(２)存在量词，可读成“总有”、“至少有”…。如,读成至少一个属于，而不属于。二普通集合的基本概念1.集合与元素当我们把一群确定的事物当作整体来考察时，则该整体就叫作集合，或简称集。例如某学校的全体教职员工可视为一个集合；全体教职员工、教学实验设备等也可视为一个集合，习惯上，我们常用大写字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ…表示集合，集合中的每一个具体

5、事物叫做这个集合的元素（或简称元），并用大括号括起来，以表示是一个整体。集合的元素一般用小写字母ａ、ｂ、ｃ、ｄ…来表示。例如已知集合Ａ为A={a1,a2,…,an}说明集合A中含有n个元素。我们又定义集合中元素的个数叫集合的势或基数，记｜Ａ｜＝ｎ。当集合中的元素为有限个时，叫有限集合，集合中的元素为无限时叫无限集合。元素与集合的关系不是属于关系就是不属于关系，二者必居其一。若ａ是集合Ａ的一个元素，即ａ属于Ａ，记为ａ∈Ａ，若ａ不是集合Ａ的一个元素，即ａ不属于Ａ，记为ａＡ。上述元素与集合的关系可用特征函数来描述，即2.

6、集合的表示方法集合的表示方法有多种多样。就给定的集合来讲，一般有三种表达形式：(１)列举法指把集合中的所有元素一一列举出来的方法。如Ａ＝{1,2,3,4},B={b1,b2,b3}等。(２)趋势法这种表达方法仅适用于集合中元素的排列具有某种规律性，此时只需列举出有限个元素，其余元素可用省略号“……”表示。例如：A={…,-1,0,1,2,…}B={a1,a2,…,an}(３)描述法又称谓语语句法，这是一种广泛应用的集合表示方法。其一般表达式如下A={x

7、p(x)}式中：x－表示集合元素；p(x)-作为谓语，用以说明x是什么

8、，或在什么范围内变化。例如：Ａ＝{x｜1≤x≤2}这里p(x)是说明集合Ａ的元素是由〔１,２〕闭区间全体实数组成的。又如：此集合与完全等价。3.集合的包含与相等包含关系是用来描述集合与集合之间关系的一种表示方法。设有Ａ、Ｂ二集，如果属于Ａ的元素全部属于Ｂ，则Ａ称作Ｂ的一个子集，或说集Ｂ包含集Ａ，记成ＡB，或ＢA。其数学描述如下：一个集合A称为Ｂ的真子集，则Ａ与Ｂ的关系叫真包含关系，记成ＡＢ。其数学描述如下：例如：A＝{a,b},B={a,b,c}，则有ＡＢ。根据包含关系，我们可定义两个集合相等的关系式，即(3-

9、3)如果两个集合存在着包含关系的话，不是相等关系，就是真包含关系。(3-3)式则是全面反映了这两种关系。注意：对于两个相等的集合还有以下两个性质：(１)重复元素没有意义，即Ａ＝{1,2,2,4}={1,2,4}(２)同一集合不同表达形式当然相等。例如：Ａ＝{x

10、x(x-1)=0}，Ｂ={0,1}则Ａ＝