2010全国初中数学联赛试卷

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1、2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.若均为整数且满足，则（）A．1.B．2.C．3.D．4.【答】B.因为均为整数，所以和均为整数，从而由可得或若则，从而.若则，从而.因此，2.2．若实数满足等式，，则

2、可能取的最大值为（）A．0.B．1.C．2.D．3.【答】C.由两个已知等式可得，而，所以.当时，可得，满足已知等式.所以可能取的最大值为2.3．若是两个正数，且则（）A．.B．.C．.D．.【答】C.由可得，则①由于是两个正数，所以，所以，从而另一方面，由可得，结合①式可得，所以因此，.4．若方程的两根也是方程的根，则的值为（）A．－13.B．－9.C．6.D．0.【答】A.设是方程的一个根，则，所以.由题意，也是方程的根，所以，把代入此式，得，整理得.从而可知：方程的两根也是方程的根，这两个方程

3、实质上应该是同一个一元二次方程，从而有（其中为常数），故，所以.因此，.5．在△中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则()A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.【答】B.如图，延长AB到F，使BF=ED，连CF，EF．∵，∴，，，，于是，，．又∵，，∴,．在△CDA和△CBF中，CA=CF，，AD=BF，∴△CDA≌△CBF，∴．于是，．6．对于自然数，将其各位数字之和记为，如，，则（）A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.【答】D.把1到2010之

4、间的所有自然数均看作四位数（如果不足四位，则在前面加0，补足四位，这样做不会改变的值）.1在千位上出现的次数为，1在百位上出现的次数为，1在十位和个位上出现的次数均为，因此，1出现的总次数为.2在千位上出现的次数为11，2在百位和十位上出现的次数均为，2在个位上出现的次数为，因此，2出现的总次数为.类似的，可求得出现的总次数均为.因此＝28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数满足方程组则.【答】13.由得，把代入，可得.因此，是一元二次方程的两个实数根，易求得这两个实数根分

5、别为3和，所以.2．二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，，则．【答】．由题意知，点C的坐标为，．设两点的坐标分别为，，则是方程的两根．由根与系数的关系得．又，则．于是，，．由，得．3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______．【答】.作PE⊥AB，交AB于点E，作PF⊥BC，交BC于点F，设，分别在△PAE、△PCF中利用勾股定理，得①②②－①，得，所以，代入①中，得，解得，.当时，，在Rt△PAE中，由勾股定理

6、可得.当时，，此时，所以点P在△ABC的外面，不符合题意，舍去.因此.4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.【答】15.将这些球的位置按顺序标号为1，2，3，4，…….由于1号球与7号球中间夹有5个球，1号球与12号球中间夹有10个球，12号球与6号球中间夹有5个球，7号球与13号球中间夹有5个球，13号球与2号球中间夹有10个球，2号球与8号球中间夹有5个球，8号球与

7、14号球中间夹有5个球，14号球与3号球中间夹有10个球，3号球与9号球中间夹有5个球，9号球与15号球中间夹有5个球，15号球与4号球中间夹有10个球，4号球与10号球中间夹有5个球，因此，编号为1，7，12，6, 13，2，8，14，3，9，15，4，10的球颜色相同，编号为5，11的球可以为另外的一种颜色.因此，可以按照要求摆放15个球.如果球的个数多于15个，则一方面，16号球与10号球应同色，另一方面，5号球与16号球中间夹有10个球，所以5号球与16号球同色，从而1到16号球的颜色都相同

8、，进一步可以知道：所有的球的颜色都相同，与要求不符.因此，按这种要求摆放，最多可以摆放15个球.第二试（A）一．（本题满分20分）设整数（）为三角形的三边长，满足，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由已知等式可得①令，则，其中均为自然数.于是，等式①变为，即②由于均为自然数，判断易知，使得等式②成立的只有两组：和…………10分（1）当时，，.又为三角形的三边长，所以，即，解得.又因为三角形的周长不超过30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，对应