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1、2010年全国初中数学联赛江西省初赛试卷2010年全国初中数学联赛江西省初赛试卷 一、选择题(共6小题,每小题7分,满分42分)1.(7分)化简的结果是( ) A.B.C.2D. 2.(7分)如图,△ABC是一个等腰直角三角形,DEFG是其内接正方形,H是正方形的对角线交点;那么,由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为( ) A.12B.13C.26D.30 3.(7分)设ab≠0,且函数f1(x)=x2+2ax+4b与f2(x)=x2+4ax+2b有相同的最小值u;函数f3(x)=﹣x2+2bx+4a与f4(x)=﹣x2+4bx+2a有相
2、同的最大值v;则u+v的值( ) A.必为正数B.必为负数C.必为0D.符号不能确定 4.(7分)若关于x的方程x2+2ax+7a﹣10=0没有实根,那么,必有实根的方程是( ) A.x2+2ax+3a﹣2=0B.x2+2ax+5a﹣6=0C.x2+2ax+10a﹣21=0D.x2+2ax+2a+3=0 5.(7分)如图,正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC上的点,DE交AC于M,AF交BD于N;若AF平分∠BAC,DE⊥AF;记,,,则有( ) A.x>y>zB.x=y=zC.x=y>zD.x>y=z 6.(7分)将1,2,3,4,5,6,7,8
3、这八个数分别填写于一个圆周八等分点上,使得圆周上任两个相邻位置的数之和为质数,如果圆周旋转后能重合的算作相同填法,那么不同的填法有( ) A.4种B.8种C.12种D.16种 二、填空题(共4小题,每小题7分,满分28分)7.(7分)若k个连续正整数之和为2010,则k的最大值是 _________ . 8.(7分)在单位正三角形中,将其内切圆及三个角切圆(与角两边及三角形内切圆都相切的圆)的内部挖去,则三角形剩下部分的面积为 _________ . 9.(7分)圆内接四边形ABCD的四条边长顺次为:AB=2,BC=7,CD=6,DA=9,则四边形的面积为
4、 _________ . 10.(7分)在±1±2±3±5±20中,适当选择+、﹣号,可以得到不同代数和的个数是 _________ . 三、解答题(共3小题,满分70分)11.(20分)边长为整数的直角三角形,若其两直角边长是方程x2﹣(k+2)x+4k=0的两根,求k的值并确定直角三角形三边之长. 12.(25分)如图,自△ABC内的任一点P,作三角形三条边的垂线:PD⊥BC,PE⊥CA,PF⊥AB,若BD=BF,CD=CE.证明:AE=AF. 13.(25分)已知a,b,c为正整数,且为有理数,证明为整数. 2010年全国初中数学联赛江西省初赛试卷参考
5、答案与试题解析 一、选择题(共6小题,每小题7分,满分42分)1.(7分)化简的结果是( ) A.B.C.2D.考点:二次根式的性质与化简.分析:先把最里面的13+变形成完全平方数的形式,就化简为,然后用同样的方法化简,最后分子化为,这样就可得到原代数式的值.解答:解:,,,因此原式=.点评:本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简:.同时考查了完全平方公式的运用. 2.(7分)如图,△ABC是一个等腰直角三角形,DEFG是其内接正方形,H是正方形的对角线交点;那么,由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为( ) A.12B.13C.26D.
6、30考点:全等三角形的判定;等腰直角三角形;正方形的性质.分析:根据全等三角形的判定可以确定全等三角形的对数,由于图中全等三角形的对数较多,可以根据斜边长的不同确定对数,可以做到不重不漏.解答:解:设AB=3,图中所有三角形均为等腰直角三角形,其中,斜边长为1的有5个,它们组成10对全等三角形;斜边长为的有6个,它们组成15对全等三角形;斜边长为2的有2个,它们组成1对全等三角形;共计26对.故选C.点评:本题考查了全等三角形的判定,涉及到等腰直角三角形和正方形的性质,解题的关键是记熟全等三角形的判定方法并做到不重不漏. 3.(7分)设ab≠0,且函数f1(
7、x)=x2+2ax+4b与f2(x)=x2+4ax+2b有相同的最小值u;函数f3(x)=﹣x2+2bx+4a与f4(x)=﹣x2+4bx+2a有相同的最大值v;则u+v的值( ) A.必为正数B.必为负数C.必为0D.符号不能确定考点:二次函数的最值.专题:计算题.分析:本题给出四个函数的解析式及两条重要信息f1(x)与f2(x)有相同的最小值u;f3(x)与f4(x)有相同的最大值v,将函数化为顶点式,再根据条件列出等式即可求解此题.解答:解:∵f1(x)=x2+2ax+4b=(x+a)2+4b﹣a2≥4b﹣a2,f2(x)=x2+4ax+2b=(x+
8、2a)2+2b﹣4a2≥2b﹣4a2,已知4b﹣a2
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