高考数学专题讲座_开放试题

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1、高考复习高考数学专题讲座开放试题主讲教师：孙福明（省常州高级中学）【复习指导】数学开放性问题是早在70年代出现的一种新题型，它不同于传统的封闭型试题（条件完备、结论确定），主要体现在试题的形式和内容的开放。试题可给出结论让你去填写条件（一般只要填写一个与结论相适应的充分条件即可），这叫条件开放题。若试题给出一部分条件让你定出结论的一部分（对于同一题目可以有好几个不同结果），这叫结论开放题。对于同一试题学生可以用不同的方法去解（一题多解），这叫方法（思路）开放题。也有一些问题只给了一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求解题者在此情境中自行设计与寻找，这类

2、题可称为综合开放题，开放型试题一般有“判断型”，“存在型”，“讨论型”，“猜测型”……等以给出某种运算法则让你用这种法则去进行运算，去解题，充分体现运用知识的能力。数学开放题有利于学生创新意识的培养和良好思维品质的形成。它要求在数学教学过程中强调整体性、思考性，强调解决问题的过程（思路与策略）而不单单是问题的结果。与此同时，还必须强调学生的主体作用。总之开放题有利于提高学生的情趣和学习积极性。【基本题型】1．结论存在型由已知条件判断结论是否存在的探索性问题，这类题型常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”等语句表述，解答这类问题，一般是先

3、对结论作出肯定的假设，然后由此出发，结合已知条件进行推理论证。若导出合理的结论，则存在性随之解决；若导出了矛盾，也就否定了存在性。这类探索性问题在高考中最为普遍，也最容易设置，只需将明确的、定性的结论改造成需要探索的、讨论的设问方式就可以了。如存在的话，请求出结果；如不存在的话，说明理由。2．结论推广型推广结论的探索性问题，题目只给出问题对象的一些特殊关系，要求探索出一般结论，并论证所得结论的正确性，解决这类问题的方法是归纳和猜想，然后加以证明。对结论要注意它们的外在形式的特征，从中找出规律性的东西，并依此进行推广。这类探索性问题，在高考中也较为普遍，目

4、前只限于有关自然数命题的结论推广。3．条件追溯型一类是条件未知的探索性问题，这类问题的特点是题目给出了明确的结论，但成立的条件未知，需进行探寻和追索，解决这类问题可用执果索因的演绎法或由特殊到一般的归纳法。另一类是缺少条件的探索性问题。这类问题的特点是题目给出了明确的结论和部分条件，要求补足条件，解决这类问题一般是从结论出发，并利用已知条件，进行逆向推理，推得的终结点便是所求的条件。这类题的答案往往是不唯一的，答案与已知条件对整个问题而言只要充分的、相容的、独立的，就视为正确的。这类问题已在高考中出现，对于考查学生发散性思维能力有较好的作用。4．命题组合

5、型给出几个论断，选择其中若干个论断为条件，某一个论断为结论，组合成符合问题要求的命题，这类命题组合性探索问题，在1999年的高考中已开始试验，评价很好，对于增强学生分析问题的能力和逻辑推理能力起到了较好的效果。这类探索性问题，既注意了学生思维的发散性训练，又注意了思维的聚合性训练，是值得研究和探索的试题设置形式。5．分类讨论型www.bnuschool.com高考复习条件都具备，但结论依赖于某个参数，必须对参数进行讨论，才能确定结论的详细情况，这类探索性问题归为分类讨论型。【例题】例1、若四面体各棱长是1或2且该四面体不是正四面体，则其体积是______

6、（只要写一个可能值）。这是一道开放试题。要求学生自己合理组合已知条件，从而计算出体积。本题可有如下几种解法：①如图，②如图，③如图，例2、（1）设f（x）与f-1（x）互为反函数。试写出两个以上的不同f（x），使得f（x）=f-1（x），并说明其特征。解：y=f（x）=2-x；y=f（x）=；凡如对称式x+y=c（常数）皆是，形如f（x）=（c≠0，ab≠bc）只要满足a=-d皆是；（2）若，当x∈______时，则tgx=0解：0≤＜，，tgx=0∴当x∈[0，]时，tgx=0例3、A={（x，y）

7、y=x+m，m∈R}，B={（x，y）

8、x=cosθ

9、,y=sinθ,0＜θ＜2π}A∩B={（cosθ1，sinθ1），（cosθ2，sinθ2）}，则m的取值范围__________。解：l：y=www.bnuschool.com高考复习⊙C：x2+y2=1，除去（1，0）-2＜m＜2当l过（1，0）时，亦不满足条件，∴m≠∴m取值范围为-2＜m＜2，m≠例4、△ABC的低边BC固定，其他两边的斜率之积等于m（m≠0），求顶点A的轨迹方程。解：设

10、BC

11、=2a，如图建立直角坐标系B（-a，0），C（a，0），A（x，y）（m≠0）①m＞0，双曲线（y≠0）②m=1，等轴双曲线（y≠0）③m＜0，椭圆（y

12、≠0）④m=-1，圆（y≠0）进一步再开放一点请写出适当条件，求出C的轨迹方程给