高中数学 3.2 简单的三角恒等变换习题1 新人教a版必修4

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1、3.2简单的三角恒等变换知识点及角度难易度及题号基础中档稍难半角公式及应用1、2、38化简求值、证明问题56、9、11与三角函数性质有关问题47、10121．已知cos＝，540°<α<720°，则sin等于(　　)A.　　　　　　　　B.C．－　D．－解析：∵540°<α<720°，∴270°<<360°，135°<<180°.∴sin＝＝.答案：A2．已知2sinα＝1＋cosα，则tan等于(　　)A.B.或不存在C．2D．2或不存在解析：由2sinα＝1＋cosα，即4sincos＝2cos2，当cos＝0时，则tan

2、不存在，若cos≠0，则tan＝.答案：B3．已知tan＝3，则cosα＝(　　)A.B．－C．－D.解析：cosα＝cos2－sin2＝＝＝＝－.答案：B4．已知函数f(x)＝sin[(1－a)x]＋cos[(1－a)x]的最大值为2，则f(x)的最小正周期为________．解析：∵f(x)＝sin[(1－a)x＋φ]，由已知得＝2，∴a＝3.∴f(x)＝2sin(－2x＋φ)．∴T＝＝π.答案：π5．若tanx＝，则＝______.解析：原式＝＝＝＝＝2－3.答案：2－36．化简sin2x＋cos2x.解：原式＝sin2

3、x＋cos2x＝sin2x·＋cos2x＝sin2x·＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin.7．函数y＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值是(　　)A．1＋B.－1C.D．2解析：y＝2sin2x＋2sinx·cosx＝1－cos2x＋sin2x＝1＋sin，ymax＝1＋.答案：A8．若cosα＝－，α是第三象限的角，则等于(　　)A．－B.C．2D．－2解析：∵α是第三象限角，cosα＝－，∴sinα＝－.∴＝＝＝·＝＝＝－.答案：A9．化简：··＝________.解析：原式＝··＝·＝·＝＝tan.答案：

4、tan10．设θ∈[0,2π]，＝(cosθ，sinθ)，＝(3－cosθ，4－sinθ)．则P1、P2两点间距离的取值范围是______．解析：∵＝－＝(3－2cosθ，4－2sinθ),∴

5、

6、2＝(3－2cosθ)2＋(4－2sinθ)2＝29－12cosθ－16sinθ＝29－20cos(θ＋α)．∴3≤

7、

8、≤7.答案：[3,7]11．求证：＝.证明：原式等价于1＋sin4θ－cos4θ＝(1＋sin4θ＋cos4θ)．即1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)．(*)而(*)式右边＝tan2

9、θ(1＋cos4θ＋sin4θ)＝(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)＝2sin2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边．所以(*)式成立，原式得证．12．如图，矩形ABCD的长AD＝2，宽AB＝1，A，D两点分别在x，y轴的正半轴上移动，B，C两点在第一象限，求OB2的最大值．解：过点B作BH⊥OA，垂足为H.设∠OAD＝θ，则∠BAH＝－θ，OA＝2cosθ，BH＝sin＝cosθ，AH＝cos＝sinθ，∴B(2cosθ＋sinθ，cosθ)，OB2＝(2cosθ＋sinθ)2＋cos2θ＝

10、7＋6cos2θ＋2sin2θ＝7＋4sin.由0＜θ＜，知＜2θ＋＜，∴当θ＝时，OB2取得最大值7＋4.1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．2．辅助角公式asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a，b)同象限；②tanφ＝.3．研究形如f(x)＝asinx＋bcosx的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一

11、个重要公式，也是高考常考的考点之一，对一些特殊的系数a、b应熟练掌握，例如sinx±cosx＝sin；sinx±cosx＝2sin等．