2016新人教a版高中数学必修一2.2.2第1课时对数函数的图象及性质学案

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1、2.2.2 对数函数及其性质第1课时 对数函数的图象及性质[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数,研究对数函数的性质.[知识链接]1.作函数图象的步骤为列表、描点、连线.另外也可以采取图象变换法.2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象与性质.a>10<a<1图象定义域R值域(0,+∞)性质过定点过点(0,1),即x=0时,y=1函数值的变化当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1当x>0时,0<y<1;当x<0时,y>1单调性是R上的增函数是R上的减函数[预习导引]1.对数函数的概念一般地,把函数y=logax(a>0,且a

2、≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).2.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域(0,+∞)值域R过定点过定点(1,0),即x=1时,y=0函数值的变化当0<x<1时,y<0当x>1时,y>0当0<x<1时,y>0当x>1时,y<0单调性是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数3.反函数对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.要点一 对数函数的概念例1 指出下列函数哪些是对数函数?(1)y=3log2x;(2)y=log6x;(3)y=logx3;(4)y=log2x+1.解 (1)lo

3、g2x的系数是3,不是1,不是对数函数.(2)符合对数函数的结构形式,是对数函数.(3)自变量在底数位置上,不是对数函数.(4)对数式log2x后又加1,不是对数函数.规律方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y=logax(a>0且a≠1)的形式,即必须满足以下条件(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数.(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪演练1 若某对数函数的图象过点(4,2),则该对数函数的解析式为(  )A.y=log2xB.y=2log4xC.y=log2x或y=2log4xD.不确定答案 A解析 设对数函数的解析式为y=logax(a>0,且a≠1),由题意可知

4、loga4=2,∴a2=4,∴a=2,∴该对数函数的解析式为y=log2x.要点二 对数函数的图象例2 如图所示,曲线是对数函数y=logax的图象,已知a取,,,,则相应于c1,c2,c3,c4的a值依次为(  )A.,,,B.,,,C.,,,D.,,,答案 A解析 方法一 先排c1,c2底的顺序,底都大于1,当x>1时图低的底大,c1,c2对应的a分别为,.然后考虑c3,c4底的顺序,底都小于1,当x<1时底大的图高,c3,c4对应的a分别为,.综合以上分析,可得c1,c2,c3,c4的a值依次为,,,.故选A.方法二 作直线y=1与四条曲线交于四点,由y=logax=1,得x=

5、a(即交点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底数小,所以c1,c2,c3,c4对应的a值分别为,,,,故选A.规律方法 函数y=logax(a>0,且a≠1)的底数变化对图象位置的影响.观察图象,注意变化规律:(1)上下比较:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象向右越靠近x轴,0<a<1时a越小,图象向右越靠近x轴.(2)左右比较:比较图象与y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大.跟踪演练2 (1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(  )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)(2)如图,若C1,C2分别为函数y=logax和y=

6、logbx的图象,则(  )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1答案 (1)D (2)B解析 (1)令x+2=1,即x=-1,得y=loga1+1=1,故函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).(2)作直线y=1,则直线与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知0<b<a<1.要点三 对数函数的定义域例3 (1)函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是(  )A.(-∞,-1)B.(1,+∞)C.(-1,1)∪(1,+∞)D.(-∞,+∞)(2)若f(x)=,则f(x)的定义域为(  )A.B.C.∪(0,+∞)D.答案 (1)C (2)

7、C解析 (1)由题意知解得x>-1且x≠1.(2)由题意有解得x>-且x≠0.规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外,还要对这种函数自身有如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意对数的底数;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.跟踪演练3 求下列函数的定义域.(1)y=log2(x2-4x-5);(2)y=.解 (1)要使函数有意义,需x2-4x-5>0,即(x-5)(x+1)>0,所以或所以x<

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