高中数学 3-3 第1课时基本不等式同步导学案 北师大版必修5

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1、§3　基本不等式第1课时　基本不等式知能目标解读1.理解基本不等式，并掌握基本不等式的几何意义.2.掌握基本不等式成立的条件；能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题.3.在使用基本不等式过程中，要注意定理成立的条件，在解题时，常采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式.重点难点点拨重点：理解并掌握基本不等式，借助几何图形说明基本不等式的意义，并用基本不等式求最值.难点：利用基本不等式求最值时,等号成立的条件.学习方法指导一、基本不等式1.基本不等式：如果a,b都

2、是非负数，那么≥,当且仅当a=b时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式.其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式.2.重要不等式：如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取"＝"）.证明：a2+b2-2ab=(a-b)2,当a≠b时，（a-b）2>0；当a=b时，（a-b）2＝0.所以（a-b）2≥0,即a2+b2≥2ab.3.基本不等式的几何解释：基本不等式一种几何解释如下：以a+b长的线段为直径作圆，在直径AB上

3、取点C，使AC=a,CB=b.过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连结AD、DB，易证Rt△ACD∽Rt△DCB,则CD２=CA·CB,即CD=.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即≥，其中，当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.以上我们从几何图形中进行了解释，获得了不等式≤（a≥0,b≥0）.其实质是：在同一圆中，半径不小于半弦，或者直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.4.关于a2+b2≥2ab和≥（a,b>0）（1）两个不等式：a2+b2≥2ab与≥成立的条件是不同的

4、，前者要求a,b都是实数，后者则要求a,b都是正数.如：（-3）2+（-4）2≥2×（-3）×（-4）是成立的，而≥是不成立的.注意：(1)要在理解的基础上，记准这两个不等式成立的条件.(2)两个不等式：a2+b2≥2ab，≥都是带有等号的不等式.“当且仅当a=b时取‘＝’”这句话的含义是“a=b”时，a2+b2≥2ab，≥中只有等号成立，反之，若a2+b2≥2ab,≥中的等号成立时,必有“a=b”，这一条件至关重要，忽略它，往往会导致解题的失误.（3）两个不等式的应用两个不等式的结构

5、都是一边为“和式”，另一边为“积式”，因此两个不等式都具有将“和式”化为“积式”以及将“积式”化为“和式”的放缩功能，可证明不等式.利用等号成立的条件，可求最大、最小值.二、利用基本不等式求最大（小）值利用基本不等式≥，在求某些简单的最大（小）值问题时，很有应用价值.一般地：x,y都为正数时，（1）若x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值;（2）若xy=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2.证明：∵x,y都为正数，∴≥(1)和式为定值S时，有≤，∴xy≤S2

6、.上式当“x=y”时取“＝”号，因式当x=y时，积xy有最大值S2；(2)积式xy为定值p时，有≥,∴x+y≥2.上式当“x=y”时取“＝”，因此，当x=y时，和x+y有最小值2.注意：（1）在应用均值不等式≤求最值时，需满足三个条件：“一正、二定、三相等”.“正”是所有变量均为正数，“定”是指变量的积或和为定值，“相等”是指等号成立的条件，以上三者，缺一不可.(2)在有关证明或求最值时，不等式都可连续多次使用，但需注意的是等号成立是否矛盾，只有当各次应用基本不等式时"＝"号成立的条件一

7、致时，“＝”才会取得，否则"＝"将不成立.知能自主梳理1.基本不等式如果a,b都是非负数，那么　　　　　，当且仅当　　　　　时，等号成立.此不等式称为基本不等式，其中　　　　　称为a,b的算术平均数，　　　　　称为a,b的几何平均数.　　2.利用基本不等式求最值（1）两个正数的和为定值时，它们的积有　　　　　，即若a>0,b>0,且a+b=M,M为定值，则ab≤，等号当且仅当a=b时成立.（2）两个正数的积为定值时，它们的和有　　　　　，即若a>0,b>0,且ab=P,P为定值，则a+b≥

8、　　　　　,等号当且仅当a=b时成立.　［答案］　1.≥　a=b　　2.(1)最大值　　(2)最小值　2思路方法技巧命题方向　利用基本不等式比较代数式的大小［例1］　已知0＜a＜1,00,b>0,∴a+b≥2,a2+b2≥2ab,∴四个数中最大数应为a+b或a2+b2.又∵0＜a＜1,0