高中数学北师大版必修5《基本不等式》导学案

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1、第5课时　基本不等式1.掌握基本不等式,能借助几何图形说明基本不等式的意义.2.能够利用基本不等式求最大(小)值.　　3.利用基本不等式求最值时要注意“一正二定三相等”.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边长分别为a,b,那么正方形的边长为.问题1:上述情境中,正方形的面积为　　　　　　,4个直角三角形的面积的和　　　　　,由于4个直角三角形的面积之和不大于正方形

2、的面积,于是就可以得到一个不等式:　　　　　　　　　,我们称之为重要不等式,即对于任意实数a,b,都有　　　　　　　　　当且仅当　　　　　时,等号成立. 我们也可以通过作差法来证明:　　　　　　-　　　　=(a-b)2≥0, 所以　　　　　　　,当且仅当a=b时取等号. 问题2:基本不等式若a,b∈(0,+∞),则　　　 ,当且仅当　　　　　时,等号成立. 问题3:对于基本不等式,请尝试从其他角度予以解释.(1)基本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的　　　　　　斜边上　　　　　.在圆中,半径不小于半弦长. (2)如果

3、把看作正数a、b的　　　　　　,看作正数a、b的　　　　　　,那么该定理可以叙述为:两个正数的　　　　　　不小于它们的　　　　　　. (3)在数学中,我们称为a、b的　　　　　　　,称为a、b的　　　　　　.因此,两个正数的　　　　　　　不小于它们的　　　　　　　. 　　问题4:由基本不等式我们可以得出求最值的结论:(1)已知x,y∈(0,+∞),若积x·y=p(定值),则和x+y有最　　　　值　　　　　　,当且仅当x=y时,取“=”. (2)已知x,y∈(0,+∞),若和x+y=s(定值),则积x·y有最　　　　值　　　　　　,当且

4、仅当x=y时,取“=”. 即“积为常数,　　　　　　;和为常数,　　　　　　　　”. 概括为:一正二定三相等四最值.1.在下列不等式的证明过程中,正确的是(　　).A.若a,b∈R,则+≥2=2B.若a,b∈R+,则lga+lgb≥2C.若x为负实数,则x+≥-2=-2D.若x为负实数,则3x+3-x≥2=22.下列不等式一定成立的是(　　).A.lg(x2+)>lgx(x>0)B.sinx+≥2(x≠kπ,k∈Z)C.>(b>a>0)D.>1(x∈R)3.已知x>0,y>0,4x+9y=1,则+的最小值为　　　　. 4.已知a>0,

5、b>0,c>0,d>0,求证:+≥4.基本不等式求最值(1)已知x>,求函数y=4x-2+的最小值.(2)已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.利用基本不等式证明不等式已知x、y都是正数,求证:(x+y)(x2+y2)(x3+y3)≥8x3y3.单调性与基本不等式设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞).(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;(2)当0

6、求函数y=的值域.1.下列不等式中恒成立的是(　　).A.≥　　　　　B.x+≥2C.≥3D.2-3x-≥22.当点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,表达式3x+27y+1的最小值为(　　).A.3　　　　B.5　　　　C.1　　　　D.73.已知08abc.　　(2011年·重庆卷)若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于(　　).A.1+B.1+C.3D.4考题变式(我来改编

7、):第5课时　等差数列的应用知识体系梳理问题1:(1)am+an=ap+aq　am+an=2ap　(2)kd(3)cd1　d1　pd1+qd2问题2:(1)最大　最小　(2)m2d　(3)nd　　an+1　问题3:(1)an-an-1　(2)an+an-2　(3)pn+q　(4)an2+bn(a,b为常数)问题4:(2)y=x2+(a1-)x　(3)基础学习交流1.B　因为2a4=a3+a5,所以3a4=12,即a4=4,所以a1+a2+…+a6+a7=7a4=28.2.B　∵2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=6a4+6a1

8、0=24,∴a4+a10=4,∴S13===26.3.130　设公差为d,则a1+(a1+8d)+(a1+10d)=30,整理得a1+6d=10,所以S13=13a1+d=13(a1+6d)=130.4.解:由已知得,{