第8讲：数学思想方法之数形结合思想探讨

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第8讲：数学思想方法之数形结合思想探讨江苏泰州锦元数学工作室编辑数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有：建模思想、归纳思想，分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。中学基础数学的基本知识分三类：一是数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；二是形的知识，如平面几何、立体几何等；三是数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来的思想方法

2、，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质和特征去研究（以形助数），即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题去研究（以数辅形），即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。数形结合思想，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思想方法，在高考中经常考查。数与形转换的三条途径：（1）建系：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解；（2）转化：通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等；（3）构造：通

3、过对数(式)与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数等，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。数形结合的三种主要解题方式：（1）数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合条件的几何图形，用几何方法去解决；（2）形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何问题；（3）)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使问题变得简捷、直观、明了。运用数形结合思想分析解决问题要遵循的三个原则：（1）等价性原则：要注意由于所作的草图不能精确刻画数量关系带来的负面效应；（2）双向性原则：即进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几

4、何分析容易失真；（3）简单性原则：不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的。运用数形结合思想分析解决问题时的三点注意事项：（1）要熟记常见函数或曲线的形状和位置，画图要比较准确，明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；（2）要恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；（3）要正确确定参数的取值范围。结合2012年全国各地高考的实例，我们从下面七方面探讨数形结合思想的应用：（1）数形结合思想在集合问题中的应用；（2）数形结合思想在函数问题中的应

5、用；（3）数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用；（4）数形结合思想在方程与不等式问题中的应用；（5）数形结合思想在三角函数问题中的应用；（6）数形结合思想在平面向量问题中的应用；（7）数形结合思想在立体几何问题中的应用。一、数形结合思想在集合问题中的应用：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】例1.（2012年全国大纲卷文5分）已知集合={︱是平行四边形}，={︱是矩形}，={︱是正方形}，{︱是菱形}，则【】A.B.C.D.【答案】B。【考点】集合的概念，集

6、合的包含关系。【解析】平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系如图，由图知是大的集合，是最小的集合，因此，选项A、C、、D错误，选项B正确。故选B。例2.（2012年上海市文4分）若集合，，则＝▲【答案】。【考点】集合的概念和性质的运用，一元一次不等式和绝对值不等式的解法。【解析】由题意，得，∴。例3.（2012年山东省文5分）函数的定义域为【】ABCD【答案】B。【考点】函数的定义域。分式、对数、二次根式有意义的条件。【解析】根据分式、对数、二次根式有意义的条件，得，解得。∴函数的定义域为。故选B。例4.（2012年重庆市理5分）设平面点集，则所表示的平面图形的面积为

7、【】（A）（B）（C）（D）【答案】D。【考点】线性规划中可行域的画法，双曲线和圆的对称性。【分析】∵，∴或。又∵，∴满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分Ⅰ和Ⅲ。∵的图象都关于直线对称，∴Ⅰ和Ⅳ区域的面积相等，Ⅱ和Ⅲ区域的面积相等，即圆内部分Ⅰ和Ⅲ的面积之和为单位圆面积的一半，为。故选D。二、数形结合思想在函数问题中的应用：函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。特别地，数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函