高考数学解题思想方法 数形结合思想方法

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1、第二章高中数学常用的数学思想一、数形结合思想方法中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的

2、，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观

3、的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。Ⅰ、再现性题组：1.设命

4、题甲：0

5、x－2

6、<3，那么甲是乙的_____。（90年全国文）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.若log2b>1D.b>a>13.如果

7、x

8、≤,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全国文)A.B.－C.－1D.4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全国)A.增函数且最小值

9、为－5B.增函数且最大值为－5C.减函数且最小值为－5D.减函数且最大值为－51.设全集I＝{(x,y)

10、x,y∈R}，集合M＝{(x,y)

11、＝1}，N＝{(x,y)

12、y≠x＋1}，那么等于_____。(90年全国)A.φB.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)

13、y＝x＋12.如果θ是第二象限的角，且满足cos－sin＝,那么是_____。A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角，也可能第三象限角D.第二象限角3.已知集合E＝{θ

14、cosθ

15、tgθ

16、区间是_____。（93年全国文理）A.(,π)B.(,)C.(π,)D.(,)4.若复数z的辐角为，实部为－2，则z＝_____。A.－2－2ｉB.－2＋2ｉC.－2＋2ｉD.－2－2ｉ5.如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么的最大值是_____。(90年全国理)A.B.C.D.6.满足方程

17、z＋3－ｉ

18、＝的辐角主值最小的复数z是_____。【简解】1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A;2小题：由已知画出对数曲线，选B；3小题：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D；4小

19、题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B；5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B；6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B；7小题：利用单位圆，选A；8小题：将复数表示在复平面上，选B；9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D；10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－＋ｉ。【注】以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）。y4y=1-m1O23xⅡ、示

20、范性题组：例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。【解】原方程变形为即：设曲线y＝(x－2),x∈(0,3)和直线y＝1－m，图像如图所示。