高中数学 1.1 空间几何体的结构素材3 新人教a版必修2

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1、直线平面简单的几何体1.平面的性质：公理1如果一条直线有两个点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。··ABlA∈l,B∈l，A∈α,B∈α公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，而且这些点都在同一条直线上（两平面相交，只有一条交线）。如图△PAB，△PCD所在平面有一个公共点P，则把平面延展之后它们必定还有其他公共点，且在同一直线上。P∈α∩β且P∈l公理3经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面推论1.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2.经过两条相交直线，有且

2、只有一个平面。推论3.经过两条平行直线，有且只有一个平面。2.两条直线的位置关系平行、相交、异面，其中平行、相交称为共面直线（1）异面的判断方法定义：没有公共点且不平行；判断定理：面的交线和面内不过该交点的直线是异面直线。（2）两条直线垂直共面垂直，异面垂直，都叫两直线垂直（3）空间平行直线公理4平行于同一直线的两直线平行（即平行线的传递性）。3.线面位置关系：4.直线和平面平行：直线和平面没有公共点（1）判定定理（线线平行线面平行）如果平面外的一条直线平行于平面内的一条直线，那么面外的直线平行于平面。a∥m且，则

3、。(2)性质定理（线面平行线线平行）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。a∥α，aβ，α∩β=b，则a∥b.5.两个平面平行：两个平面没有公共点（1）判定定理（线面平行面面平行）①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。αβm②垂直于同一条直线的两个平面平行。m⊥α，m⊥β，则α∥β（2）性质定理①（面面平行线线平行）两个平行平面同时与第三个平面相交，

4、那么它们的交线平行；②（面面平行线面平行）两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面；③夹在两个平行平面间的两条平行线段相等；④如果两个平行平面中的一个和一条直线垂直，那么另一个也和这条直线垂直。直线称为两个平行平面的公垂线，它夹在两个平面间的部分，叫做两个平行平面的公垂线段，公垂线段的长叫做平行平面间的距离。平行间的相互转化关系：线线平行线面平行面面平行6.直线和平面垂直一条直线和一个平面相交，且和这个平面内的任意一条直线都垂直，就称为直线和平面垂直（常用于证明线线垂直，简记为线面垂直线线垂直）（1）判定

5、定理（线线垂直线面垂直）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（2）性质定理①过一点和已知平面垂直的直线只有一条；过一点和已知直线垂直的平面只有一个（相互的唯一性）；②两平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面。反之，两条直线都垂直于同一个平面，则它们一定平行；③直线和平面平行，那么直线上各点到平面的距离相等。都叫做这条直线和这个平面的距离。④线段垂直平分面上的点到线段两端点距离相等。（3）射影过一点做平面的垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影。直线和平面不垂直相交，

6、直线称为斜线，交点称为斜足。斜线在平面内的射影：过斜线上不同于斜足的任一点作面的垂线，垂足斜足连线称为斜线在平面内的射影。射影性质①斜线段相等，对应的射影也相等，较长的斜线段对应的射影也较长②射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长③垂线段比任何一条斜线段都短（4）三垂线定理在平面内的一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线垂直。反之，平面内的直线和斜线垂直，那么它和斜线的射影垂直。面内的直线垂直斜线面内线垂直射影PO⊥α，aα则a⊥OAa⊥PA7.两个平面垂直平面角是直角的二面角叫做直二面角，相

7、交成直二面角的两个平面垂直。（1）判定定理（线面垂直面面垂直）一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。a⊥α，aβα⊥β（2）性质定理（面面垂直线面垂直）两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。α⊥β，α∩β=b，aβ，a⊥ba⊥α8.空间直角坐标系空间向量坐标运算（1）（2）（3）（4）由此得到向量夹角公式（5）（6）9.角（1）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（方向不同则互补）。（2）最小角定理平面的斜线和它在平面内

8、的射影所成角（即线面角）是这条斜线和这个平面内任一条直线所成角中最小的角。三余弦公式cosθ=cosθ1·cosθ2，其中θ称为斜线角即斜线和平面内任一直线所成角；θ1线面角，θ2是射线角即射影和面内直线所成角。（3）角的定义①异面直线所成角：已知两条异面直线a，b，过空间中任一点O作所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角。求异面直线角方法一种是平移