第1章1.2.3第二课时知能优化训练

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1、1．下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°)；②直线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°]；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________(填序号)．解析：②应为[0°，90°]；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．答案：①④2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，它的六个面中与棱AA1垂直的有________个．解析：面A1B1C1D1与面ABCD都与棱AA1垂直．答案：23．下列说法中

2、正确的个数是________．①如果一条直线和一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直；②如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直；③如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；解析：①②正确，③中缺少两条“相交”直线这一条件．答案：24．如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．解析：折痕与矩形在桌面内的两条相交直线都垂直，因此折痕与桌面垂直．答案：垂直一、填空题1．已知直线a和平面α、β，α∩β＝l，a⊄α，

3、a⊄β，a在α，β内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是________．解析：当直线a∥平面α，直线a∥平面β时，a∥b且a∥c，则b∥c；当直线a∩平面α＝A，直线a∩平面β＝B.且AB与l不垂直时，b与c异面；当a∩l＝O时，b与c相交于O.∴b和c的位置关系是相交、平行或异面．答案：相交，平行或异面2．垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是________．解析：梯形的两腰所在的直线是相交的直线，故直线垂直于梯形所在平面内的两条相交直线，所以直线与平面垂直．答案：垂直3．如图，边长为2的正方形A

4、BCD在α上的射影为EFCD，且AB到α的距离为，则AD与α所成的角为________．解析：在Rt△AED中，AE＝，AD＝2，∴∠ADE＝30°.答案：30°4．如图，在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝90°，则PA与底面ABC所成角为________．解析：∵PA＝PB＝PC，∴P在底面的射影O是△ABC的外心．又∠BAC＝90°，∴O在BC上且为BC的中点．∴AO为PA在底面的射影，∠PAO即为所求的角．在Rt△PAO中，PO＝PB＝PA.∴sin∠PAO＝＝，∴∠PAO＝60°.答案：6

5、0°5．如图，PA⊥面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴△PAB，△PAC为直角三角形．∵BC⊥AC，∴△ABC为直角三角形．∵BC⊥AC，BC⊥PA，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.∴△PBC也为直角三角形．答案：46．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ改编)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为________．解析：如图，连结BD交AC于O，连结D1O，由于

6、BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，∴cos∠DD1O＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.答案：7．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，∴QD⊥平面APQ，∴AQ⊥QD.即Q在以AD为直径的圆上，当半圆与BC相切时，点

7、Q只有一个．故BC＝2AB＝2.答案：28．正△ABC边长为a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，则B到AC的距离为________．解析：如图，作DH⊥AC于H，连结BH.∵BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，∴BD⊥平面ACD.从而BD⊥DH，∴DH为BH在平面ADC内的射影，∴BH⊥AC，又正△ABC边长为a，∴DH＝a，∴BH＝＝a.答案：a9．(2011年苏北五市联考)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是___

8、_____．解析：∵BD1⊥平面AB1C，∴当P在B1C上时，总有AP⊥BD1，故点P的轨迹是线段B1C.答案：线段B1C二、解答题10．如图，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥面ABCD，且PA＝AB，M、N分别为PC、PB的中点．求证：PB⊥DM.证明：∵N是PB的中点，PA＝AB，∴