高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法素材 新人教a版必修5

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1、一元二次不等式及其解法一．引言：本讲学习要求：掌握二次函数的概念、图象及性质；理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力．学习重点为：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化；学习难点为：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．本讲考纲要求为：会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；通过函

2、数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．本讲命题方向为：主要考查以一元二次不等式为基础的不等式解法，综合题多以与其他章节（如函数、数列等）交汇．从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式等，解答题主要考查含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用．二．考点梳理1．二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是．2．二次函数的解析式的三种形式：（一般式）；（零点式）；（顶点式）．3．一元二

3、次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R4．解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为“+”：A=>0(或<0)(a>0)；(2)计算判别式，分析不等式的解的情况；(3)写出解集．5．讨论二次函数在指定区间上的最值问题：(1)注意对称轴与区间的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：①对称轴在区间左边，函数在此区间上具有单调性；②对称轴在区间之内；③对称轴在区间右边．（2）函数在

4、区间上的单调性．要注意系数的符号对抛物线开口的影响．6．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．三、典型例题选讲题型1：考查一元二次函数的性质例1函数是单调函数的充要条件是（）A．B．C．D．解：∵函数的对称轴为，∴函数）是单调函数，．故选A．归纳小结：二次函数的单调区间是和，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出的范围．例2已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析．解：∵二次函数的对称轴为，可设所求函数

5、为，∵截轴上的弦长为，∴过点和，又过点，∴，解之得，∴．归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化．题型2：简单不等式的求解问题例3求下列不等式的解集．（1）；（2）解法一：因为．所以，原不等式的解集是．解法二：整理，得．因为无实数解，所以不等式的解集是．从而，原不等式的解集是．归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察．

6、例4不等式的解集为，求与的值．解法一：设的两根为、，由韦达定理得：由题意得∴，，此时满足，．解法二：构造解集为的一元二次不等式：，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故，．归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，，的两根为，．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系．题型3：含参不等式的求解问题例5解关于的不等式．证：分以下情况讨论(1)当时，原不等式变为：，∴即不等式的解集为(2)当时，原不等式变为：　　①①当时，①式变为，∴不等式的解为或．即不等式

7、的解集为；②当时，①式变为．　　②∵，∴当时，，此时②的解为．即不等式的解集为；当时，，此时②的解为．当时，，即不等式的解集为．归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解．题型4：一元二次不等式的应用例6（1）已知函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．解：依题意得所以，选C．（2）（2007重庆理）若

8、函数f(x)=的定义域为R，则a的取值范围为_______．解：函数的定义域为R，对一切都有恒成立，即恒成立，成立，即，，故选A．归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一．例7已知函数的最大值为，求的值．解：令，，∴，对称轴为，当，即时，，得或（舍去）．当，即时，函数在上单调