1.1.1 正弦定理(二) 学案（人教b版必修5）

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1、1.1.1　正弦定理(二)自主学习知识梳理1．正弦定理：＝＝＝2R的常见变形：(1)sinA∶sinB∶sinC＝________；(2)＝＝＝＝________；(3)a＝__________，b＝__________，c＝____________；(4)sinA＝________，sinB＝________，sinC＝________.2．三角形面积公式：S＝______________＝______________＝____________.3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，则△ABC的外接圆半径R

2、＝________，内切圆半径r＝____________.自主探究在△ABC中，(1)若A>B，求证：sinA>sinB；(2)若sinA>sinB，求证：A>B.对点讲练知识点一　三角形面积公式的运用例1　已知△ABC的面积为1，tanB＝，tanC＝－2，求△ABC的各边长以及△ABC外接圆的面积．总结　注意正弦定理的灵活运用，例如本题中推出S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．借助该公式顺利解出外接圆半径R.变式训练1　已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为(　　)A．1B

3、．2C.D．4知识点二　利用正弦定理证明恒等式例2　在△ABC中，求证：＝.总结　正弦定理的变形公式使三角形的边与边的关系和角与角的关系之间的相互转化的功能更加强大，更加灵活．变式训练2　在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，求证：a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.知识点三　利用正弦定理判断三角形形状例3　已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＋c＝2b，且2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．变式训练3　已知方程x2－(bcos

4、A)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状．1．借助正弦定理可以进行三角形中边角关系的互化，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．2．在△ABC中，有以下结论：(1)A＋B＋C＝π；(2)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC；(3)＋＝；(4)sin＝cos，cos＝sin，tan＝.课时作业一、选择题1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于(　　)A．1∶2

5、∶3B．2∶3∶4C．3∶4∶5D．1∶∶22．在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　)A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形3．在△ABC中，(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于(　　)A．4∶5∶6B．6∶5∶4C．7∶5∶3D．7∶5∶64．在△ABC中，a＝2bcosC，则这个三角形一定是(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形5．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大

6、角为(　　)A．45°B．60°C．75°D．90°二、填空题6．在△ABC中，已知a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝________.7．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.8．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，则＝________，c＝________.三、解答题9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且c＝10，又知＝＝，求a、b及△ABC的内切圆半径．10．在△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的

7、对边，若a＝2，C＝，cos＝，求△ABC的面积S.1．1.1　正弦定理(二)知识梳理1．(1)a∶b∶c　(2)2R　(3)2RsinA　2RsinB　2RsinC(4)　　2.absinC　bcsinA　casinB3.　自主探究证明　(1)在△ABC中，由大角对大边定理A>B⇒a>b⇒2RsinA>2RsinB⇒sinA>sinB.(2)在△ABC中，由正弦定理sinA>sinB⇒>⇒a>b⇒A>B.对点讲练例1　解　∵tanB＝>0，∴B为锐角．∴sinB＝，cosB＝.∵tanC＝－2，∴C为钝角

8、．∴sinC＝，cosC＝－.∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝.∵S△ABC＝absinC＝2R2sinAsinBsinC＝2R2×××＝1.∴R2＝，R＝.∴πR2＝π，即外接圆面积为π.∴a＝2RsinA＝，b＝2RsinB＝，c＝2RsinC＝.变式训练1　A　[设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，∴R＝1，由S△＝absinC＝＝＝，∴abc＝1.]例2　证明