圆锥曲线最值与范围问题

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1、圆锥曲线中的最值和范围问题一、高考在考什么【考题回放】1、(2008福建文、理)双曲线的两个焦点为，若P为其上的一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（　B　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2、(2008海南、宁夏理)已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（A）A.（，－1）B.（，1）C.（1，2）D.（1，－2）3、(2008湖南文)双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是(C)A．B．C．D．4、(2008湖南理)若双曲线（a＞0,b

2、＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是(B.)A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)5、(2008江西文、理)已知是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A．(0，1)B．(0，]C．(0，)D．[，1)6、(2008辽宁理)已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（A）A．B．C．D．7、(2008全国Ⅱ卷理)设，则双曲线的离心率的取值范围是（B）A．B．C．D．二、高考要考什么【热点透

3、析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角

4、式。因此，它们的应用价值在于：①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式D³0。三、突破重难点【典例讲解】例1.给定点A(-2,2)，已知B是椭圆上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。解：因为椭圆的，所以，而为动点B到左准线的距离。故本题可化为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义于是为定值其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，此时B为

5、所以，当取得最小值时，B点坐标为例2.已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动，Q点在椭圆上移动,试求

6、PQ

7、的最大值。解：故先让Q点在椭圆上固定，显当PQ通过圆心O1时

8、PQ

9、最大，因此要求

10、PQ

11、的最大值，只要求

12、O1Q

13、的最大值.设Q(x，y)，则

14、O1Q

15、2=x2+(y-4)2①因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)②将②代入①得

16、O1Q

17、2=9(1-y2)+(y-4)2因为Q在椭圆上移动，所以-1£y£1，故当时，此时【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最

18、常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。例3.(2009济宁市一模)椭圆与直线相交于、两点，且（为坐标原点）.（Ⅰ）求证：等于定值；（Ⅱ）当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的取值范围.解:（Ⅰ）证明：消去得设点，则，由，，即化简得，则即，故（Ⅱ）解：由化简得由得，即故椭圆的长轴长的取值范围是。例4.(2009青岛市一模)已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦点、，当时，有.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.解:(Ⅰ)因为，所以有所以为直角三角形；…………………………2分则

19、有所以，…………………………3分又，………………………4分在中有即，解得所求椭圆方程为…………………………6分(Ⅱ)从而将求的最大值转化为求的最大值…………………………8分是椭圆上的任一点，设，则有即又，所以………………………10分而,所以当时，取最大值故的最大值为…………………………12分例5.已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。（1）解：依题

20、意e，∴a＝3，c＝2，b＝1，又F1(0，－2)，对应的准线方程为∴椭圆中心在原点，所求方程为(2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分∴直线l的斜率存在。设直线l：y＝kx＋m由