数学人教b必修1第二章2.1.1　函　数

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1、2.1.1　函　数1．函数的定义传统定义在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x值，相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量近代定义设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，自变量的取值范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y

2、y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数y＝f(x)也经常写作函数f或函数f(x)[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.n

3、et](1)如果自变量取a，则把由对应法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y＝f(a)或y

4、x＝a；(2)由函数的定义，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.(3)函数的三要素：由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应法则、值域，这三个要素又称为函数的三要素．初中所学的函数的三要素如下表：函数定义域对应法则值域正比例函数Rf(x)＝kx(k≠0)R反比例函数{x

5、x≠0}f(x)＝(k≠0){y

6、y≠0}一次函数Rf(x)＝kx＋b(k≠

7、0)R二次函数[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.net数理化网]Rf(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)[来源:www.shulihua.net][来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]当a＞0时，当a＜0时，(4)由于函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定，这样确定一个函数就只需两个要素：定义域和对应法则．因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，缺一不可．(5)对符号f(x)的理解①f(x)表示关于x的函数，又可以理解为自变量x对应的函数值，是一个整体符号，不能分开写．符号f可以看作

8、是对“x”施加的某种法则或运算，例如f(x)＝x2－x＋5，当x＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；②对于f(x)中x的理解，虽然f(x)＝3x与f(x＋1)＝3x从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f施加法则的对象不一样(一个为x，而另一个为x＋1)，因此函数解析式也是不一样的；③函数f(x)并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应法则，如图象、表格、文字、描述等；④f(x)与f(a)的关系：f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量，f(a)表示当x＝a时的函数值，是值域内的一个值，是常量，如f(x)＝x＋1，当x＝3时，f(3)＝

9、3＋1＝4.【例1－1】下列式子能确定y是x的函数的是(　　)①x2＋y2＝2；②；③.A．①②B．②③C．②D．①③解析：对某一范围内的任意一个x，按照某种对应法则，都有唯一确定的y值和它对应，则称y是x的函数．①由x2＋y2＝2，得，因此由它不能确定y是x的函数．②由知，当x在{x

10、x≠1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的y值与之对应，故由它可以确定y是x的函数．③由得x不存在，故由它不能确定y是x的函数．答案：C【例1－2】判断下列对应f是否为集合A到集合B的函数？(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；(2)A＝Z，B＝{－

11、1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1；n为偶数时，f(n)＝1；(3)A＝B＝{1,2,3}，f(x)＝2x－1.分析：判断一个对应f是否为集合A到集合B的函数，首先要判断它是否满足A中的任意一个元素在B中都有唯一确定的值与之对应．若满足，且A，B又是两个非空数集，则该对应是函数；若不满足，则它一定不是函数．解：(1)集合A中的元素没有剩余，即A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的元素与之对应，同时集合A和B都是数集，故对应f是集合A到集合B的函数．同理，(2)中的对应f也是集合A到集合B的函数．(3)由于f(3)＝2×3－1＝5B，即集合A中的元素3在集合B中没有元素与之对应

12、，所以对应f不是集合A到集合B的函数．点技巧判断一个对应法则是否是函数关系的方法从以下三个方面判断：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A中任一实数在B中必须有实数和它对应；(3)A中任一实数在B中和它对应的实数是唯一的．注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．2．函数的定义域和值域定义域(1)函数的定义域是函数y＝f(x)的自变量x的取值范围．(2)对于函数的定义域，要从以下两方面考虑：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同的函数，如y＝x2(x∈R)与y＝x2(x＞0)；②