高数b(二)期末参考复习资料

《高数b(二)期末参考复习资料》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、09年工商管理团学联学习部——高数讲座高数B（二）期末参考复习资料——工管团学联学习部整理第五章、定积分1、基本概念：划分、近似、求和、逼近几何意义2、可积函数类：闭区间上至多有一个第一类间断点单调有界函数3、基本公式：ab(f±g)dx=∫abfdx±∫abgdx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx∫abf(x)dx=-∫abf(x)dx若f(x)≤g(x)，则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dxMinf(x)(b-a)≤∫abf(x)dx≤Maxf(x)（b-a）∫ab∣f(x)dx∣≤∫ab∣f(x)

2、∣dx定积分中值定理4、积分上限函数及其导数：若g(x)=∫abf(t)dt，则g’(x)=f(x)若g(x)=∫q(x)p(x)f(t)dt，则g’(x)=f(p(x))p’(x)-f(q(x))q’(x)5、定积分计算方法：定义牛顿----莱布尼茨公式换元法分部积分法利用函数的周期性、奇偶性6、反常积分（广义积分）：①定义：⑴无穷限的反常积分⑵无界函数的反常积分②收敛判别法：⑴收敛定义09年工商管理团学联学习部——高数讲座⑵比较审敛判别法⑶极限审敛判别法例题lim(nn2+1+nn2+22+…+nn2+n2)n→+∞1、求极限：

3、lim(11n2+1+122n2+1+…+1n2n2+1)1nn→+∞解：原式=原式=limn→+∞1nk=1n11+kn2=0111+x2dx=arctanx︱01=π42、求极限：limx→+∞0x1+t2dtx+0xsintdtx2。解：由于limx→+∞0x1+t2dtx=limx→+∞1+x21=1(洛必达法则)limx→+∞0xsintdtx2=limx→+∞ddx0xsintdtddx（x2）(洛必达法则)=limx→+∞sinx2x=12故原式=1+12=323、设函数f（x）连续，且0x2-1ftdt=x,求f(8

4、)。解：对等式两边求导有f(x2-1)2x=1令x2-1=8.得x=3.代入得f(8)=164、设f(x)在区间[0，且满足f(x)=x2cosx+0π2ftdt.试求f(x)。解：不妨设0π2ftdt=A。则有f(x)=x2cosx+AA=0π2fxdx=0π2(x2cosx+A)dx=0π2x2dsinx+π2A=x2sinx︱0π220π2cosxdx+2xcosx︱0π2+π2A09年工商管理团学联学习部——高数讲座=π242+π2A，故A=π282（2π）所以f(x)=x2cosx+π282（2π）1、证明方程lnx=xe

5、2、0π1-cos2xdx在区间（0，+∞）内只有两个不同的实根。证明：令F（x）=xelnx-0π1-cos2xdx，则limx→+∞F（x）=limx→+∞x(1elnxx)-0π1-cos2xdx=+∞limx→0+F（x）=limx→0+(xelnx-0π1-cos2xdx)=+∞又F’（x）=1e-1x=x-ee*x，当x=e的时候，F’（x）=0.当x>e时，F’（x）>0，当0

6、定理有F（x）在（0，e）和（e，+∞）分别有唯一的零点。所以命题得证。3、试确定常数a、b、c的值，使limx→0ax-sinxbxln(1+t3)tdt=c(c≠0)。解：当x→0时，ax-sinx→0，若使c≠0，则必须bxln(1+t3)tdt→0x→0，从而b=0。因为当b>0时，则ln(1+t3)t>0(t∈0，b)若b<0，则ln(1+t3)t>0(t∈b，0)，均与题意不符，故b=0。又等式左边=limx→0ax-sinxln(1+x3)x=limx→0ax-sinxx2=c=右边。故a=1且c=12。4、设f(x)

7、=0xsintπ-tdt，求0xf(x)dx。解：由已知有f’(x)=sinxπ-x，则0xf(x)dx=f(x)x︱0π-0xxf'(x)dx=πf(π)-0πxsinxπ-xdx=π0xsintπ-tdt-0πxsinxπ-xdx09年工商管理团学联学习部——高数讲座=π0πsinxπ-xdx-0πxsinxπ-xdx=0πsinxdx=21、设函数f(x)连续，且0xtf2x-tdt=12arctanx2，已知f1=1求12fxdx的值。解：令μ=2x-t则dt=-dμ，0xtf2x-tdt=-2xx(2x-μ)fμdμ=2x

8、x2xfμdμ-x2xμfμdμ从而2xx2xfμdμ-x2xμfμdμ0xtf2x-tdt=12arctanx2，两端求导有2x2xfμdμ+2x2f2x-fx-[2xf2x*2-xf(x)]=x1+x4故x2xfμdμ=x21+x