n维欧氏空间上正交变换的分类

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1、论文题目《正交变换的分类》N维欧氏空间上正交变换的分类摘要：本文通过对正交变换的概念以及正交变换的一些定理进行定义，再逐步了解n维欧氏空间上的正交变换。最后讨论普通几何空间中正交变换的类型。最终掌握欧氏空间、性质、判别及其初步分类．关键字：欧氏空间正交变换分类1.1正交变换的概念定义1设V是一个欧氏空间，σ是V的一个变换．若σ保持向量的内积不变，即"α，β∈V，都有〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉(1)则称σ是V上的一个正交变换．从定义1容易看出，V的正交变换保持向量的长度不变，保持两个非零向量的夹角不变，保持正交性不变．命题1.1欧氏空间V上的

2、正交变换σ一定是线性变换．证先证"α，β∈V,有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)．事实上，áσ(α+β)－(σ(α)+σ(β)),σ(α+β)－(σ(α)+σ(β))ñ=

3、σ(α+β)

4、2－2áσ(α+β),σ(α)+σ(β)ñ+

5、σ(α)+σ(β)

6、2=

7、α+β

8、2－2áσ(α+β),σ(α)ñ－2áσ(α+β),σ(β)ñ+

9、σ(α)

10、2+

11、σ(β)

12、2+2áσ(α)，σ(β)ñ=

13、α+β

14、2－2áα+β,αñ－2áα+β,βñ+

15、α

16、2+

17、β

18、2+2áα，βñ=

19、α+β

20、2－2áα+β，α+βñ+

21、α+β

22、2=0，所以σ保持加法运算．同理可证

23、σ(kα)=kσ(α)，"α∈V，k∈R．故σ是V的一个线性变换．从命题1.1和定义1容易得出，正交变换保持两个向量之间的距离不变．命题1.2欧氏空间V上的正交变换σ一定是单射．因此，有限维欧氏空间的正交变换是可逆变换．证因为áσ(α),σ(α)ñ=áα,αñ，所以"α∈KerσÛσ(α)=qÛáσ(α),σ(α)ñ=0Ûáα,αñ=0Ûα=q．从而Kerσ=0．因此σ是单射．此时，当dimV=n，则σ是满射，所以σ是双射，故σ可逆．注意到欧氏空间V的任一自同构σ均保持内积不变，因此由命题1.2立得推论1.1有限维欧氏空间V的变换σ是正变变换的充分

24、且必要条件为σ是欧氏空间V的自同构．我们可从另外一个角度来刻画正交变换，即定理1.1欧氏空间V到自身上的变换σ是正交变换的充分且必要条件为σ是保持向量的长度不变的线性变换．证必要性从定义1和命题1.1立即得到．充分性设σ∈EndV，且保持向量的长度不变，则"α,β∈V，有〈σ(α+β),σ(α+β)〉=〈α+β,α+β〉．(2)(2)式的左边、右边分别为

25、α

26、2+2áα,βñ+

27、β

28、2．所以，〈σ(α),σ(β)〉=〈α,β〉．故σ是正交变换．显然，欧氏空间V的任两正交变换σ，τ的乘积仍然是正交变换．1.2n维欧氏空间的正交变换定理1.2设σ是n维

29、欧氏空间V的一个线性变换，则下列陈述彼此等价：1)σ是正交变换；2)若α1,…,αn是V的一个标准正交基，则σ(α1),…,σ(αn)也是V的标准正交基；3)σ在V的任意一个标准正交基下的矩阵是正交矩阵．证1)Þ2)因为〈σ(αi),σ(αj)〉=〈αi,αj〉=δij，i,j=1，2，…，n；且σ(αi)≠q，i=1，…，n．所以σ(α1)，…，σ(αn)是V的一个标准正交基．2)Þ3)任取V的一个标准正交基α1，…,αn．由假设知σ(α1)，…，σ(αn)也是V的标准正交基．从而由基α1，…，αn到基σ(α1),…,σ(αn)的过渡矩阵A是正交

30、矩阵，即σ(α1,…,αn)=(α1,…,αn)A．(3)(3)式说明σ在基α1,…,αn下的矩阵是A，故3)成立．3)Þ1)取V的一个标准正交基α1，…，αn，设σ在这个基下的矩阵是正交矩阵A．"α=(α1,…,αn)X，β=(α1,…,αn)Y∈V，则σ(α)=(α1,…,αn)(AX),σ(β)=(α1,…,αn)(AY)．由于α1,…,αn是V的标准正交基，所以〈σ(α),σ(β)〉=(AX)¢(AY)=X¢(A¢A)Y=X¢Y=〈α,β〉．因此σ是正交变换．据上，在标准正交基下，n维欧氏空间V的正交变换与实n阶正交矩阵一一对应．因而可利用

31、正交矩阵将正交变换分类．注意到正交矩阵的行列式等于1或－1．因此，行列式等于1的正交变换称为旋转，或者称为第一类的；行列式等于－1的正交变换称为第二类的．n维向量空间的任意一个n－1维子空间称为一个超平面．例1在欧氏空间V中取一个标准正交基α1,…,αn．定义V上的一个线性变换σ，使得σ(α1)=－α1，σ(αi)=αi，i=2，…，n，则σ在基α1,…,αn下的矩阵为A=diag(－1，In－1)．显然A是正交矩阵，因此σ是正交变换．由于

32、A

33、=－1，因此σ是第二类的．这个正交变换是关于超平面W=L(α2，…，αn)的一个镜面反射(参见本节习题第

34、2题)．1.3普通几何空间中正交变换的类型下面讨论几何空间V2和V3的正交变换有哪些类型？设σ是V2的一个正交变换，σ在V