n维欧氏空间中的点集

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1、第1节n维欧氏空间Rn中的点集的初步知识n维欧氏空间n维欧氏空间中点列的极限与完备性n维欧氏空间的各类点集：开集、闭集、区域2009年4月1南京航空航天大学理学院数学系本节将研究一种特殊的集合——n维欧氏空间中的点集。向量空间往往成为数学研究的载体和对象。分析学科所关心的空间的结构包括度量、范数、开集、闭集等。本节的主要内容为n维欧氏空间中的各类点集，这将为我们研究新的积分奠定基础。2009年4月2南京航空航天大学理学院数学系1.n维Euclid欧氏空间SeeP.22009年4月3南京航空航天大学理学院数学系定义距离2009年4月4南京航空航天大学理学院数学系

2、定义(邻域)：向量空间Rn中所有和定点a的距离小于定数d的点的全体,即集合称为点a的d邻域,记作显然，在R1,R2,R3,U(a,d)分别是以a为中心以d为半径的开区间、开圆和开球.邻域具有如下的基本性质：(1)(2)对于P的两个邻域存在邻域(3)对于存在Q的邻域(4)对于存在P和Q的邻域使得2.Rn中点列的极限2009年4月5南京航空航天大学理学院数学系点列的极限(I)e-N式定义：(II)邻域式定义：SeeP.2,定义1.12009年4月6南京航空航天大学理学院数学系定理1.1n维欧氏空间点列的收敛是按坐标收敛.SeeP.3定理1.12009年4月7南京航

3、空航天大学理学院数学系例子2009年4月8南京航空航天大学理学院数学系性质：1.点列的极限是唯一的；3.点列的收敛满足线性性；SeeP.3定理1.2收敛点列必为有界点集2009年4月9南京航空航天大学理学院数学系6.n维欧氏空间中的收敛点列等价于Rn中Cauchy点列SeeP.3定理1.4SeeP.3定理1.3,5.n维欧氏空间的有界点列必有收敛的子（点）列.Bolzano-Weierstrass定理定义如果对n维欧氏空间中的点列2009年4月10南京航空航天大学理学院数学系点集的直径：一个非空点集A的直径定义为有界点集：一个非空点集A称为有界集合，若直径及有

4、界点集点集的距离两个非空点集A,B的距离定义为注：若A={P*}，即A为单点集，则可记2009年4月11南京航空航天大学理学院数学系欧氏空间中点集的一些基本概念——区间若将其中的不等式全部换成则上述点集分别称为闭区间、左开右闭区间、左闭右开区间，统称为区间，记作I。称为I的第i个边长；称为I的体积，记作

5、I

6、.定义：中的点集称为一个开区间；2009年4月12南京航空航天大学理学院数学系3.欧氏空间中的各类点集考虑向量空间Rn中的点与给定点集之间的关系。设A为Rn中的一个点集，a为Rn中的点，则a和A的关系具有如下几种：(1)a附近全是A的点，即存在a的某邻域此

7、时,称a为A的内点；(2)a附近全不是A的点，即存在a的某邻域此时称a为A的外点；(3)a附近既有A的点，又有不属于A的点，即对a的任意邻域U(a),此时称a为A的边界点，简称界点；2009年4月13南京航空航天大学理学院数学系(4)a附近有A的无穷多个点，即对a的任意邻域U(a),为无限集合，此时称a为A的聚点；(5)a附近除a外没有A的点，即存在a的邻域U(a),此时称a为A的孤立点。2009年4月14南京航空航天大学理学院数学系点与点集间的关系显然，空间中任意的点a是且只能是上述(1)(2)(3)中的一个，或者是且只能是上述(2)(4)(5)中的一个，即

8、(1)内点一定是聚点，外点一定不是聚点；(2)聚点可以是内点，也可以是界点，但不能是外点；(3)孤立点一定不是聚点、内点或外点，一定是界点；(4)A中的点要么是聚点，要么是孤立点；(5)界点要么是聚点，要么是孤立点。2009年4月15南京航空航天大学理学院数学系聚点关于聚点，下面三条是等价的：a是A的聚点；a的任意邻域内，至少含有一个属于A而异于a点；存在A中互异的点所成的点列SeeP.4定义1.22009年4月16南京航空航天大学理学院数学系内部、边界、外部、导集、闭包定义：(1)A的全体内点所成的集合，称为A的内部，记作(3)A的全体外点所成的集合，称为A

9、的外部，记作(2)A的全体边界点所成的集合，称为A的边界，记作2009年4月17南京航空航天大学理学院数学系(5)A与A的导集的并集，称为A的闭包，记作闭包是一个非常重要的概念，我们有如下结论：这样可知：SeeP.4定义1.2SeeP.6例1.1-1.2(4)A的全体聚点所成的集合，称为A的导集，记作2009年4月18南京航空航天大学理学院数学系开集和闭集定义：若集合A的每一点都是A的内点，则称A为开集；若集合A的每一个聚点都属于A，则称A为闭集.开集和闭集是最重要的两类点集，它们具有以下的性质：(1)对任意的点集A，(2)点集A是开集当且仅当A是闭集当且仅当

10、(3)SeeP.6定义1.52009年