《线性代数一》补考模拟卷答案

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1、《线性代数一》2010年下半年补考模拟题答案一、填空题（每小题3分，共18分）1.用行列式性质计算：=.解：考察知识点：行列式性质，包括最常见的初等变换（初等行变换3种，哪3种？对行列式变化有何影响？）其中：（1）将第二、三行加到第一行；（2）提出第一行的公因子；（3）将第一行依次乘以-y,-(x+y),分别加到第三行和第四行。注意：行列式的性质非常重要，一定要熟练掌握，灵活应用。2.排列的逆序数为0.解：一定要理解记住逆序数的定义。按顺序来，从第一个元素到最后一个元素，都拿它与后面的元素进行比较，结果进行累计。第一个元素为1，后面的元素均比它大，故有0个逆序；第二个元素

2、为2，后面的元素都比它大，同样有0个逆序；依此类推。。。。得出每个元素，与其后面的元素进行比较，都没有逆序出现，故逆序数为0+0+……+0=03.已知向量，则=。解：考察向量的四则运算4.设,则；。（其中为自然数）。解：考察矩阵间的乘积运算和幂运算。直接根据定义计算即可在求幂方时，由于指数是抽象的，所以必须找出规律，因为为单位矩阵，则由单位矩阵性质知对则……..所以，得出规律当幂指数为偶数时，则结果其实就是单位矩阵，当为奇数时，结果就是A本身，故.5.设阶矩阵非奇异，是的伴随矩阵，则。解：若这样看起来比较复杂，则可以令则有：结果其实是一样的，只是看起来容易理解一点。6.设

3、是非齐次线性方程组的解，也是的解，则应满足的关系为。解：由题目条件得有，要使得也是解，则应该有：，而我们知，因此，要求1二、选择题（每小题3分，共27分）1.的充分必要条件是（C）。A、B、C、D、解：直接计算得，选C2．设以及均为阶可逆矩阵，则等于（C）A、B、C、D、解：考察矩阵的逆运算。A的逆必须满足，。选项A中，不会恒等于；选项B中，不恒等于；同理运算D，不是答案；选项C中，设的逆为P，要证P即为，，即为，选C3.设阶方阵满足关系式，其中是阶单位矩阵，则必有（D）。A、B、C、D、解：同样考察矩阵，包括逆矩阵、矩阵乘积等运算。由于，一般我们有，因此题目我们可以得出

4、有以下两种结果：将与之四个选项对比，明显选D。4.已知为阶正交矩阵，则下列为错误的是（A）A、B、也为正交矩阵C、D、解：考察正交矩阵的性质，看教材P188：由性质1和正交矩阵行列式值有两种可能，1或-1，故A错；由性质3知也为正交矩阵，故B正确；由性质2知，而我们知，因此C项与D项均正确，答案选A。5.下列所指明的各向量组中,(B)中的向量组是线性无关的.A.向量组中含有零向量B.任何一个向量都不能被其余向量线性表出C.存在一个向量可以被其余向量线性表出D.向量组的向量个数大于向量的维数解：考察线性相关和无关的性质。首先，零向量与任何向量都是线性相关的，因此线性无关的向

5、理组中不可能有零向量，A错；定理3.7，教材P132，向量组线性相关充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合，即至少有一个向量可以由其余向量线性表出（见P124定义3.5）,其逆否定题为：任何一个向量都不能被其余向量线性表出则是线性无关，B正确；C中是使得定理3.5线性相关成立的条件，故错误；D中，向量组的维数即等于向量组的秩，即是其极大无关组所含向量的个数，若向量组的向量个数大于向量的维数，说明极大无关组不是向量组本身，而只是其子集，说明向量组线性相关，D错误，选择B。6.下列叙述中，错误的有（C）A、若向量正交，则对于任意实数也正交B、若向量与向量都正交，则与

6、的任一线性组合也正交C、若向量正交，则中至少有一个零向量D、若向量与任意同维向量正交，则是零向量解：对于A，因，则对于B，因，，则对于C，设,则，但是均为非零向量，C错。对于D，设,则，同理可证，故是零向量。选C。7.设为阶矩阵，且相似，则以下错误的是（C）A、；B、；C、有相同的特征向量；D、有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。解：考察相似的定义及相关性质，教材P117相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的秩，有相同的行列式值，但不一定有相同的特征向量，因此，明显选C。8.若是矩阵，是非齐次线性方程组所对应的导出组，则下列结论正确的是（D）A、若仅有零

7、解，则有惟一解；B、若有非零解，则有无穷多个解；C、若有无穷多个解，则仅有零解；D、若有无穷多个解，则有非零解。解：考察与之间的关系，请参看教材第三章第五节。同时要注意到因为解的形式为：一个特解+的基础解系，当然它也可以无解；若仅有零解，等价于只有唯一解，即基础解系就为零，因此要么无解，要么解的形式：一个特解+0（即唯一解），因此A错；若有非零解，即基础解系不等于0，则要么无解，要么解的形式：一个特解+的非零基础解系，即有无穷多解，因此B错；反过来，若有无穷多个解，则解的形式必为：一个特解+的非零基础解系，因此有非零解，故C错