三角恒等变换章末总结-2011版

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1、《三角恒等变换》章末总结1、本章网络结构2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如是的半角，是的倍角等。（310）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。（4）求值的类型：①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差

2、化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。（5）灵活运用角和公式的变形，如：，等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称

3、的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。（7）证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法：①从一边到另一边，②两边等于同一个式子，③作差法。3、题型归纳（1）求值题例1.已知，，且，求。分析：由已知条件求，应注意到角之间的关系，，可应用两角差的余弦公式求得。解：由已知，得又由，得又10由，得点评：<1>三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键；<2>常见角的变换：，等。（2）化简题例2.化简：，其中。分析：式中有单角

4、α与半角，可用倍角公式把α化为。解：原式10∴原式（3）证明题例3.求证：分析1：从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，逐步化成左边。证法1：右边∴原命题成立分析2：由配方，得。将左边约分，达到化简的目的。证法2：左边∴原命题成立10分析3：代数证明中的作差法也适用于三角证明。证明3：左－右∴左＝右∴原式成立（4）与向量、三角形等有关的综合题例4.平面直角坐标系内有点。（1）求向量与的夹角θ的余弦；（2）求的最值。解析：（1）∵（2）又，即【模拟试题】一.选择题（每小题4分，共48分）1.的值为（）10A.B

5、.C.D.2.可化为（）A.B.C.D.3.若，且，则的值是（）A.B.C.D.4.函数的周期为T，最大值为A，则（）A.B.C.D.5.已知，则的值为（）A.B.C.D.6.已知，则（）A.B.C.D.7.设，则（）A.4B.C.D.8.的值是（）A.B.C.D.9.在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.要使斜边一定的直角三角形周长最大，它的一个锐角应是（）A.30°B.45°C.60°D.正弦值为的锐角1011.已知向量，向量，向量，

6、则向量与的夹角范围为（）A.B.C.D.12.已知：，则的值为（）A.B.4C.D.1二.填空题（每小题3分，共12分）13.已知，则_____________。14.函数的最小正周期为_____________。15.已知，且满足关系式，则_____________。16.已知。若，则可化简为_____________。三.解答题（每小题10分，共40分）17.求值：18.已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合；（3）求函数的单调区间，并指出在每一

7、个区间上函数的单调性。19.若已知，求的值。20.已知α、β为锐角，且。求证：10[参考答案]一.选择题：1.D2.A3.B4.D5.C6.D7.D8.C9.A10.B11.D12.C二.填空题：13.14.15.16.三.解答题：17.解：原式18.解：（1）（2）当即时，当即时，10（3）当即时，单调递增。当即时，单调递减。故的单调递增区间为的单调递减区间为19.解法1：，则从而故原式解法2：原式10又即则故原式20.证法1：由已知∵α、β为锐角，证法2：由已知条件得：又∵α、β为锐角，即10