()青岛科技大学高数试卷)08-09高数a(下)a卷试题

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1、课程考试试题学期学年2008-20092高等数学A（下）拟题人:校对人:拟题学院（系）:适用专业:数理学院曹红妍应物、电气、电信等专业赵立宽（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1.已知,则.2.设D是由所围成的三角形闭域则的值为.3.设L是从到的线段，则.4.若，则.5.微分方程的通解为.二、选择题（每小题3分，共15分）1．已知向量，，则向量在向量上的投影为.（A）1（B）（C）2（D）32．更换积分次序.（A）（B）（C）（D）3．下列级数中属于条件收敛的是.（A）（

2、B）（C）（D）4．设是以为周期的周期函数，且在一个周期内的表达式为：，其傅里叶级数的和函数为，则.（A）0（B）1（C）-1（D）25.锥面被柱面所截得的曲面面积为.（A）（B）（C）（D）6三、计算题（每小题7分，共21分）1.已知,求偏导数.2.计算二重积分其中D由围成.3.利用高斯公式求，其中取下侧.四、计算题（每小题7分，共21分）1.利用格林公式计算，其中L：，从到.2.求一阶线性微分方程的通解.3.求函数在点处的梯度，并求函数在点（1，-1，2）处沿着梯度方向的方向导数.五、计算及应用（每小题

3、8分，共16分）1.求幂级数的收敛域及和函数.2.试在曲面上求一点，使得该点处的法线垂直于平面，并求出该点处的切平面方程及法线方程.六、证明题（每小题6分，共12分）1.设是由方程所确定的函数，其中有二阶导数，具有二阶连续的偏导数，证明：.2.设数列为有界单调增加数列，且，证明：（1）存在；（2）级数及级数均收敛.62008-2009（2）高数A（下）试题参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1.1；2.0；3.；4.05.二、选择题（每小题3分，共15分）：1.B2.C3.B4.A5.C三、计算题（每

4、小题7分，共21分）：1.解：…………………………………2分…………………………………5分…………………………………7分2.解：…………………………………4分…………………………………7分3.解：补上曲面：，取上侧.则和围成封闭空间闭区域.由高斯公式得=3…………………………………4分………………………5分=…………………………………7分四、计算题（每小题7分，共21分）：61.解：补上:从a到-a。设L与所围成的区域为D.由格林公式，得…………………………………4分而…………………………………5分所以……

5、…7分2.解：原方程可变形为…………………………………2分设，代入公式，得原方程的通解为…………………………………7分3.解：函数在点P处的梯度为…………………………………4分函数在点P处沿处的方向导数为…………………………………7分五、计算及应用（每小题8分，共16分）1.解：幂级数的收敛半径为，当时，级数发散，级数的收敛域为.设，…………………………………3分6…………………………………5分…………………………………7分，…………………………………8分2.解：曲面在点处的法向量为，由条件知，已知平面的法

6、向量与向量平行，得，又点P在曲面上，所以点P的坐标为(1,1,3)……………………4分所求的法平面方程为，即…………6分法线方程为…………………………………8分六、证明题（每小题6分，共12分）1.证：…………………………………3分…………………………………5分…………………………………6分2.证：（1）因为已知数列为有界单调增加数列，且，所以由单调有准则知存在，不妨设为。…………………………………2分6（2）设级数的部分和为，则…………………………………4分故知级数收敛。由收敛级数的性质知也收敛。，由比较

7、审敛法知，级数收敛.…………………………………6分若级数发散，则级数也发散。6