射影几何中仿射变换解初等几何题

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1、二直线平行这个性质在仿射变换下也不改变。平面上两个封闭图形的面积之比，在仿射变换下也是不变的。若一个图形经过仿射变换变成另一个图形，就说这两个图形是仿射等价的。所有的三角形都与正三角形仿射等价，所有的平行四边形都与正方形仿射等价，所有的椭圆都与圆仿射等价，所有的双曲线都与等轴双曲线仿射等价。在仿射几何中，互相仿射等价的图形是不加区别的。利用仿射变换可以解决许多初等几何问题，下面给出它在以下几个方面的应用。平行投影平行投影是仿射变换中最基本、最简单的一类。因此平行投影变换具有仿射变换中的一切性质。解这类题的关键是选定平行投影方向，应用平行线段之比是仿射不变量。例

2、1是内任一点，连结、、并延长分别交对边于、、。求证：.[2]图1证明：如图1，分别沿和方向作平行投影。→、→由仿射变换保简单比不变得，，所以，同理，，所以.例2一直线截三角形的边或其延长线,所得的顶点到分点和分点到顶点的有向线段的比的乘积等于﹣1，其逆也真。（梅涅劳斯定理）[3]分析：如图2，本题要求证明当、、三点共线时，。其逆命题亦成立。图2（1）证明梅涅劳斯定理成立由于要证明的三条线段分别处在三条直线上，不便于问题的证明，为此应用平行投影将其集中到一条直线上，自然采用原三角形的一边最简便。如图2(a)，以为投影方向，将、、点平行投影到直线上的、、点，则.即

3、原命题成立。（2）证明逆命题成立证明当、、上三点、、满足时，则、、三点共线。设直线交于，如图2(b),由已知条件知，，所以与重合，故、、三点共线。三角形仿射等价性因为任一三角形可以经过平行投影变成正三角形。因此，如果我们要证明一个有关三角形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明命题对正三角形成立，便可断言命题对任意三角形也成立。而正三角形是最特殊的三角形，它有很多特殊的性质可以利用，证明起来要容易得多。例3在的中线上任取一点，连接、，并延长交于，延长交于，求证：∥.[4]图3证明：如图3，作仿射变换T，使得对应正，由仿射性质可知，点、

4、、、相应地对应、、、，且为正的中线。在正中也是边上的高，且、、与、、关于对称，、到的距离相等，则∥，由于平行性是仿射不变性，因此，在中∥.例4证明为重心的充要条件是：.[4]图4证明：必要性，如图4，作仿射变换，使得对应正，为正的重心，则也为内心，即到三边距离﹑﹑相等，故，则对应在，.充分性，若，因为，故到三边距离、、相等，即为正的内心，从而也是重心。由于平行性是仿射性质，因此，命题对一般三角形也成立。故为的重心。证明有关平行四边形仿射性质的实例任一平行四边形均可以经过特殊平行投影变成正方形，因此，若想证明一个有关平行四边形的命题，只要这个命题的条件和结论都是

5、图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对正方形成立即可。例5平行四边形的一组邻边上有点，两个点，且∥.求证：和面积相等。[5]证明：作仿射变换，使平行四边形对应正方形，则有对应，对应，如图5，图5在正方形中，由∥，故，因为，所以，故，因，所以，又由于两个多边形面积之比为仿射不变量，故有，所以.例6已知在平行四边形中，为的中点，在上，，交于，求证：.[6]图6证明：如图6，作仿射变换，使得，平行四边形对应正方形，则由仿射性质可知，点、、分别对应、、，且是的中点，.在正方形中，取的中点，过、、作的平行线，分别交于点、、。由平面几何知识易证，，由于简比是仿射不变量，所

6、以在平行四边形中，.证明有关梯形仿射性质的实例任一梯形均可以经过平行投影变成等腰梯形，若想证明一个有关梯形的命题，只要这个命题的条件和结论都是图形的仿射性质，那么只要证明相应命题对等腰梯形成立即可。例7在梯形中，∥，、分别为、的中点，对角线与交于点，腰与交于点，求证：、、、四点共线。[7]图7证明：如图7，作仿射变换，使梯形对应等腰梯形，则由仿射性质可知，点、、、依次对应、、、，其中、分别为与的中点。在等腰梯形中，由对称性可知，是对称轴，为对称直线与的交点，为对称直线与的交点，因此，、必在直线上，即、、、四点共线。由于结合性是仿射不变量，所以在梯形中、、、四点

7、共线。应用仿射变换求与椭圆有关的问题圆和椭圆都是初等几何中常见的图形，圆比椭圆更特殊，它有很多很好的性质，与圆有关的定理举不胜举，但椭圆则不然，因其本身的定义要比圆复杂，椭圆的性质和定理就很少，解决一个与椭圆有关的问题要比解决一个与圆有关的相应的问题困难得多。在初等几何中，有很多有关椭圆的问题，只能通过解析几何的方法来解决，这就给我们解题带来了不少麻烦。因此，我们自然期望有一种方法，使得处理有关椭圆的问题和处理有关圆问题一样容易，而由仿射变换性质可知，椭圆通过适当的仿射变换可变成圆。例8求椭圆的面积。[8]图8解：设在笛氏直角坐标系下，椭圆经过仿射变换，其中，

8、椭圆的仿射图形为.因为两个封闭图形面积