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1、仿射变换在初等几何解题中的应用…………摘要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射影变换的桥梁.本文将从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射变换在初等几何中的一些应用.关键词：仿射变换；仿射不变性；初等几何Abstract:Affinetransformation, namely parallel projection, is an important transformationingeometry.It is th
2、e bridge from the motion converting to the projective transformation.Thisarticlewillstart with the concept of affine transform,tounderstandthe geometry of affinegeometryresearch by affine transformation invariant properties and constant relationship betweenthenumberafterthe
3、deformedshapeandpositionalrelationship,anddiscussedsomeapplicationsofaffine transformation in elementary geometry.Keywords：affinetransformation；affineinvariance；elementarygeometry1仿射变换的基本概念及相关性质1.1仿射变换的概念定义1.1[1]设同一平面内有条直线，，，…，，，，…顺次表示到，到，到的透视仿射，经过这一串平行射影，使上的点与上的点建立了一一对应，称为
4、到的仿射或仿射变换如图1-1.=，称为，，，…按这个顺序的乘积.===…=，=等第11页（共11页）图1-1定义1.2设，，为共线三点，这三点的简比定义为下述有向线段的比：其中，是有向线段，的代数长，，叫基点，叫分点.当在，之间时，<0；当不在，之间时，>0；当与重合时，=0；当与重合时，不存在.1.2仿射变换的性质（1）仿射变换保持同素性：即仿射变换将点变成点，直线变成直线；（2）仿射变换保持结合性：即仿射变换保持点与直线的结合关系；（3）仿射变换将向量变成向量，且保持向量的线性关系.定理1两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线.推论1
5、两条相交直线经仿射变换后仍变成两相交直线.推论2共点的直线经仿射变换后仍变为共点直线.定理2两条平行线段之比是仿射不变量.推论一直线上两线段之比是仿射不变量.第11页（共11页）定理3两封闭图形（如三角形、平行四边形、椭圆等）面积之比是仿射不变量.2仿射变换与初等几何的相关联系从总体上看,高等几何对初等几何具有多方面的指导意义.在此,笔者择要阐述两种,以此说明高等几何对初等几何普遍指导意义[2].一是学习高等几何能深化对初等几何的认识和理解.几何学是一种研究在相应的变换群下图形保持不变的质和量的科学,射影群、仿射群、正交群所对应的是射影几何、
6、仿射几何、欧氏几何,根据普遍性包含于特殊性的原理可知,射影几何包含于仿射几何包含于欧氏几何,这其中,射影几何内容最少,欧氏几何内容最丰富.不同的几何课程在内容上的侧重点不同,解析几何主要研究图形的性质,将空间几何结构代数化是其本质特征;欧氏几何主要研究整个空间的几何结构,它利用图形的直观形象启发人类的想象思维,从而促使人们不断探索发现图形间的关系与性质；高等几何尤其是其中的射影几何则包含、融合了上述两者的内容.也就是说,学习高等几何能使我们站得更高一些,看得更远一些,能进一步认清几种几何学间的关系,进一步开阔几何学的视野,从而更好地理解和把握
7、初等几何的本质和精髓.二是学习高等几何能有效扩充初等几何的研究方法.从实用主义的角度看,数学与应用数学专业的学生或中学数学教师学好高等几何,一方面可扩展几何学的认知范畴,在更高的水准上搞好教学工作,另一方面可用高等几何的理念和观点来指导和反思初等几何的教学内容与研究方法,从而不断改进初等几何的教学方式,优化其研究手段和教学模式,切实提高中学几何的教学质量.3仿射变换在初等几何解题中的应用第11页（共11页）根据仿射变换的性质可知，通过特殊仿射变换可将某些一般图形变为特殊图形，如可将任何三角形变成正三角形，平行四边形变为正方形或长方形，梯形变为
8、等腰梯形或直角梯形.因此，对于一个仅涉及仿射性质的初等几何命题，如果能证明它在特殊图形中成立，则在仿射变换下，这个命题对于相应地一般图形也应成立.利用仿射变换可以解
