第20讲 乘、除法的运算律和性质(学生版)

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1、第20讲乘、除法的运算律和性质　　我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。　　1.乘法的运算律乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。即a×b=b×a，其中，a、b为任意数。　　例如：35×120=120×35=4200。乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。即a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)，其中，a、b、c为任意数。　　注意：

2、(1)这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。(2)这两个运算律常一起并用。例如，并用的结果有a×b×c=b×(a×c)等。例1：计算下列各题(1)17×4×25；(2)125×19×8；(3)125×72；(4)25×125×16。乘法分配律：两个数之和(或差)与一数相乘，可用此数先分别乘和(或差)中的各数，然后再把这两个积相加(或减)。即(a+b)×c=a×c+b×c；(a－b)×c=a×c－b×c。例2：计算下列各题：(1)

3、125×(40+8)；(2)(100－4)×25；(3)2004×25；(4)125×792。　　2.除法的运算律和性质　　(1)商不变性质：被除数和除数乘(或除)以同一个非零数，其商不变。即　　a÷b=(a×n)÷(b×n)(n≠0)　　=(a÷m)÷(b÷m)(m≠0)例3：计算(1)425÷25；(2)3640÷70。(2)两数之和(或差)除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和(或差)。即　　(a±b)÷c=a÷c±b÷c　　例如，(8+4)÷2=8÷2+4÷2，(9－6)÷3=9÷3－6÷3。　　此性质可以推广到多个数之和(或差

4、)的情形。例如　　(1000－688－136)÷8=1000÷8－688÷8－136÷8=125－86－17=22(3)在连除中，可以交换除数的位置，商不变。即　　a÷b÷c=a÷c÷b　　在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。例如，　　168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……例4：计算下列各题：(1)(182+325)÷13；(2)(2046－1059－735)÷3；(3)775÷25；(4)2275÷13÷5。　　3.乘、除法混合运算的性质(1)在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。例如，　　a×b÷c=a÷c

5、×b=b÷c×a(2)在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。即　　a×(b×c)=a×b×c；a×(b÷c)=a×b÷c　　括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即　　a÷(b×c)=a÷b÷c；a÷(b÷c)=a÷b×c　　添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。即　　a×b×c=a×(b×c)；a×b÷c=a×(b÷c)；a÷b÷c=a÷(b×c)；a÷b×c=a÷(b÷c)(3)两

6、个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘。即　　(a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c)　　上面的三个性质都可以推广到多个数的情形。例5：计算下列各题(1)136×5÷8；(2)4032÷(8×9)；(3)125×(16÷10)；(4)2560÷(10÷4)；(5)2460÷5÷2；(6)527×15÷5；(7)(54×24)÷(9×4)练习20　　用简便方法计算下列各题。1.(1)12×4×25；(2)125×13×8；(3)125×56；(4)25×32×125。2.(1)125×(80+4)；(2)(100－8)×25

7、；(3)180×125；(4)125×88。3.(1)1375÷25；(2)12880÷230。4.(1)(128+1088)÷8；(2)(1040－324－528)÷4；　(3)1125÷125；(4)4505÷17÷5。5.(1)384×12÷8；　(2)2352÷(7×8)；　　(3)1200×(4÷12)；　　(4)1250÷(10÷8)；　　(5)2250÷75÷3；　(6)636×35÷7；　　(7)(126×56)÷(7×18)。