数学分析习题(上)new

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1、数学分析习题（上）一、单调有界法求极限：用单调有界原理判断极限存在，再求其极限。例1求数列解：显然，此数列是单调上升的，下面证明数列有上界。例2、设，数列满足条件：，计算。解：显然对任何，都有,故有下界，由于所以是单调递减的，故的极限存在。设，得注：例1与例2这一类数列，应在数列极限存在的前提下才能使用此种方法。二、用洛必塔法则求极限：当极限为待定型时，可用洛必塔法则求之。例3求例4、求解：-20-又如：（1）求（2）其它还有均为待定型。这五种类型都可转化为例5求解：例6、求解：例7、求例8、求例9、求三、积分法求极限：有些极限用定积分定义计算较为简便。-20-例10、求例11、求例12

2、、求例13、求例14、求解：原式=-20-四、其他例题例15、若在点连续，那么，是否也在连续？反之如何？解（1）若在连续，则与在连续。（i）在连续。事实上，由于在连续，从而对，当时，有，而故当时，。因此在连续。（ii）在连续。事实上，由于在连续，从而由局部有界性知：存在>0及，使当时，有，由连续性定义知，，当时，有。现取，则当时，（i）与（ii）同时成立，因此可以在连续。（2）逆命题不真。设，则，均是常函数，故是连续函数，但在中的任一点都不连续。例16、证明：设为区间上的单调函数，且为的间断点，则必是的第一类间断。证：不妨设f为区间上的递增函数，于是当且时，，从而，由函数极限的单调有界定

3、理可知同理因此是的第一类间断点。例17、设、在点连续，证明：-20-（1）若，则的某个邻，使（2）若对，有，则证：（1）由于，取连续，于是。存在。可见①，又因在连续，从而存在，当，可见②，现取时，①，②同时成立，因此，。（2）假设结论不真，从而，由（1）可知，存在的某个邻域，使，，这与时，，矛盾，故例18、研究复合函数与的连续性，设（1）（2）解：（1）由于故是连续函数，又因为因此，x=0是gof的可去间断点，其余点处处连续。（2）由于于是=0，可见处处连续，因为故，的跳跃间断点。-20-例19、若对任给，在上连续，是否可推出在连续。解：可推出在内连续。事实上，对任给，取，则由于上连续，

4、故在连续。由的任意性，可知在内连续。例20、证明：若在上连续，且不存在任何，使得=0，则在上恒正或恒负。证：假设在上不恒为正且不恒为负，则必有，使与异号，不妨设，由于函数在上连续，故在上连续，由根的存在性定理可得，存在，使得，这与不存在任何，使得=0相矛盾，故在上恒正或恒负。例21、证明：任一实系数奇次方程至少有一个根。证：设为一实系数奇次方程且，令其左端为且可设，因而在上连续且，从而存在，使，在上应用根的存在性定理可知：在区间内至少有一个实根。例22、证明：（1）函数在上一致连续。（2）在上一致连续，但在上不一致连续。证：（1）对任给正数，取，当任且时，分两种情况讨论：时，。所以函数在

5、上一致连续。（2）先证在上一致连续，对任给-20-，于是对任给的正数，取，当时，有上一致连续。再证在上不一致连续，取，不论正数取得多么小，只要n充分大，我们可使与的距离但，故在上不一致连续。例23、若函数在区间上满足李普希茨（Lipschitz）条件，即存在常数>0，使得上任意两点都有证明：在上一致连续。证：，取，对I上任意两点。当时，由李普希兹条件可知在上一致连续。例24、设函数在点存在左、右导数，试证在连续。证：，由无穷小量概念，其中，于是在右连续。同理可证在左连续。从而在连续。例25、设是定义在上的函数，且对任何都有，若，证明:对任何,都有.证：由于对一切都成立。于是对任，有-20

6、-（i）若，则结论成立（ii）若，则，于是对任,例26、函数在一点可微，是否必在该点邻域内连续。考察：函数试证在每一点处不连续，但在处可微，且证：设，取有理数列趋于，；取无理数列趋于，，故在点不连续（归结原理）。但显然在点是连续的。而故即，从而在处可微，且所以上述命题是不正确的。例27、若在内可微，且，是否必有解：未必，如，则在上可微，，取，则，=0、1、2……，而，所以，故。例28、若于内可微，且，则证：时，恒有，即有-20-即从而由的任意性知：。例29、设函数在点=1处二阶可导，证明：若。则在=1处有。证：即证在=1时，将代入，易见等式成立。例30、设函数在点处二阶可导，且，若这个函

7、数存在反函数，试求。解：∴例31、举一个连续函数的例子，它在已知点上不可导。解：是上的连续函数，但它在处不可导。例32、证明：（1）可导的偶函数，其导数为奇函数。（2）可导的奇函数，其导数为偶函数。（3）可导的周期函数，其导数为周期函数。证：（1）设为可导偶函数，则有，两边求导。为奇函数。（2）同理（3）设为可导周期函数，为周期，则两边求导：即∴仍是以为周期的周期函数。例33、设在连续，。求问在什么条件下在可导。-20-解：又在连续