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《10年考研数学强化线性代数讲义(一至二讲)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第一讲基本概念一.关于矩阵和向量的几个问题。1．行向量和列向量3问题:(3,-2,1)和-2是不是一样?12.下列矩阵都是什么矩阵?①100②c00③2-11④001⑤0000000c001702000000200c000100000⑥222⑦2-10122001272000020对角矩阵:①②⑤.上三角矩阵:①②③⑤.下三角矩阵:①②⑤.对称矩阵:①②⑤④⑥.3.3-14例:求矩阵A=507的列向量组的系数为2,-1,3的线性组合.08-63-14611217解:25-0+37=10-0+21=31.08-608-18-26二．线性方程组的基本概念线性方程组
2、的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,…………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况:无解,唯一解,无穷多解.(2)求解,特别是在有无穷多解时求通解.齐次线性方程组:b1=b2=…=bm=0的线性方程组.n维(0,0,…,0)T总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).称矩阵a11a12…a1na11a12…a1nb1A=a21a22…a2n和(A
3、b)=a21a
4、22…a2nb2…………………am1am2…amnam1am2…amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而对于齐次方程组,它的全部信息都体现在系数矩阵中.三.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵1.初等变换矩阵有初等行变换和初等列变换,它们各有3类.初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(倍加变换,消元变换)2.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,也有非零行,则零行都在下,非零行在上.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调上升.
5、1-326510024-63000-394000000-326520024-63000-394000001-326510004-64000-39400000问题1.设A是n阶矩阵,下列命题中哪个正确?(1)如果A是阶梯形矩阵,则A是上三角矩阵.(2)如果A是上三角矩阵,则A是阶梯形矩阵.(3)如果A是阶梯形矩阵,则A的最下面的行向量为零向量.(4)如果A是阶梯形矩阵,并且它的(n,n)位元素不为0,则A的对角线上的元素都不为0.问题2.设A是阶梯形矩阵.下列断言哪几个正确?(1)A去掉任意一行仍然是阶梯形矩阵.(2)A去掉任意一列仍然是阶梯形矩阵.(3)A去掉
6、右边的若干列仍然是阶梯形矩阵.3.简单阶梯形矩阵把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,满足:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.4.用初等行变换把矩阵化为阶梯形矩阵每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵.每个阶梯形矩阵都可以用初等行变换化为简单阶梯形矩阵.用初等行变换把下列矩阵化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.(1)2-1011(2)11111110201-12254-292316333-18,3a17.解：111021110211102(1)®2-1011®0-3-21-3®0-3-21
7、-3®254-29064-38000-12333-18000-12000-121110211102101/305/30-3-21-30-3-20-3012/301/3000-12®000-12®0001-2000000000000000111111111111(2)01-1201-1201-122316®01-14®00023a170a-3-2400a-510-2a11111111若a≠501-1201-12®00a-510-2a®001-20002000211111020若a=501-1201-10®0002®000100000000请注意:①从阶梯形矩阵化
8、得简单阶梯形矩阵时,台角不改变.②一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.③一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.四.线性方程组的矩阵消元法消元法原理:用同解变换化简方程组然后求解.线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.矩阵消元法即用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵,再讨论解的情况和求解.例:1511103-2-1-2(A
9、β)®00314000-2400000x1+5x2+x
10、3+x4=1,3x2-2x3-x4=-
