第4章 非线性规划-张

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1、第四章非线性规划模型第四章非线性规划模型第一节非线性规划的实例与基本概念一、非线性规划的实例例1化学反应的平衡组成设现有原料由种原子组成，各种原子数量依次为共生成种分子（产品），设生产数量（待求）依次为。设第种分子中含各种原子的数量依次为所有产品中含第种原子数之和为由熟知的质量守恒定律有在一定的温度、压力下，每种化合物都具有一定的自由能，根据化学热力学原理，当化学反应达到平衡状态时，系统的总自由能最小。用表示第种化合物具有的自由能，它的表达式为其中是与温度、压力及有关的常数。总自由能为问题变为求使（4-1）（4-2）式（4-1），（4-2）构成的数学模型显然与前几章的数学模

2、型不同，它就是我们即将介70第四章非线性规划模型绍的非线性规划模型。例2成组气田开发的最优化模型设有一组个气田，要求在一定开发期内产气总量为，而为第个气田的极限产量，为第个气田的最优产量（待求），为第个气田的生产井数，可按公式计算，其中，分别为第个气田的地层边界压力和井底流动压力，，，是与第个气田的地层形状、流动条件、井排数、井排半径及井距有关的常数。要求各气田适当配产，使单产成本最低。根据题意可得如下数学模型（4-3）（4-4）其中，，分别与第个气田的管线成本、生产消耗、气压站和综合处理站、钻井成本有关的参数。式（4-3），（4-4）也是一个非线性规划模型。二、非线性规划

3、的基本概念1．非线性规划的定义称形如，（4-5）（4-6）（4-7）的数学模型为一个数学规划，称为该数学规划的目标函数，称（4-6）式为等式约束，（4-7）式为不等式约束，若中至少有一个是变量的非线性函数，则称模型（4-5）—（4-7）是非线性规划问题（或非线性最优化问题），否则称（4-5）—（4-7）为线性规划问题（或线性优化问题）。当时，称问题，70第四章非线性规划模型为无约束最优化问题，简称为无约束问题。2．最优解的概念满足（4-6），（4-7）的维向量称为该数学规划的一个可行点，所有可行点做成的集合称为可行集或可行域，即对于，若有，使，对所有满足的都成立，则称为该规

4、划的一个局部最优解；若对所有都成立，则称为该规划的整体最优解或全局最优解。若对于，有，使，对所有满足且都成立，则称为该规划的一个严格局部最优解；若对所有且都成立,则称为该规划的一个严格整体最优解。例3设有非线性规划问题可行集D如图所示，由于，又，，因此是该问题的一个整体最优解.当然也是局部最优解01图1例3的可行集D第二节n元函数微分学与最优性条件一、n元函数微分学知识为了给出非线性规划问题的最优性条件，先来介绍一些元函数的微分学知识.在下边的讨论中，假设元函数具有讨论中所遇到的可微性阶数.1．梯度70第四章非线性规划模型函数在点处的梯度，定义为在点处的个偏导数构成的列向量

5、，记为，即（4-8）2．二阶偏导数矩阵（Hesse矩阵）称如下的阶方阵　　　　　　　（4-9）为函数在点处的二阶偏导数矩阵亦称为Hesse矩阵，当时，为一实对称矩阵.3．公式元函数在点处的公式（写到二次项）为(4-10)其中为比高阶的无穷小量.4．最速下降方向下面证明，是在点处的最速下降方向.因为函数沿方向的变化率是，故在点处最速下降方向的单位向量应是问题（4-11）的解，注意到，其中是与方向的夹角。极小化该式，便得到当即时，的值最小，这时70第四章非线性规划模型，因此称为函数在点处的最速下降方向，同样理由称为在点处的最速上升方向。5．一维搜索与下降方向给定点，方向向量，称

6、问题为由点始沿方向的一维搜索.这是一元函数求极小点的问题。将函数在点展开得（4-12）当且充分小时，由上式得即当充分小且时，函数值较小，因此，若，称为函数在点处的下降方向，类似地，若，且充分小，由（4-8）式知，因此，此时称为函数在点处的上升方向。二、无约束问题的最优性条件定理1（一阶必要条件）设函数连续可微，若点是的局部极小点，则。证明用反证法，设，取，则，因而存在，使当时，，这与为的局部极小点矛盾.故应有。若有点使，则称为的驻点或稳定点.由此，定理1表明，若函数连续可微，且不是驻点，则不是的局部极小点。定理2（二阶必要条件）若函数二阶连续可微，且是的局部极小点，则，且半

7、正定。证明由题设及公式有70第四章非线性规划模型于是（4-13）令，由于，故由（4-9）式得，又由的任意性知，半正定。定理3（二阶充分条件）设函数二阶连续可微，且，正定，则为的严格局部极小点。证明据已知条件和公式得（4-14）由正定知，存在正数使得，故由（4-14）式得：（4-15）因此据式（4-15）知，存在使当时，即当且时，，故为的严格局部极小点。三、约束极值问题的最优解的一阶必要条件定理4设是约束极值问题，（4-16）（4-17）（4-18）的局部最优解，且向量组，，，，线性无关，其中70第四章非线性规划模型