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《11 整除与带余数除法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第一章整数的整除性整除是初等数论的基本概念,整除理论是初等数论的基础.本章从整除这个基本概念出发,引进带余数除法和辗转相除法,然后建立最大公因数和最小公倍数理论,并进一步证明算术基本定理,所有这些是整个课程的基本部分.本章的最后介绍函数及,并利用来说明如何把表示成质数幂的乘积.§1整除和带余数除法一整除我们已熟知正整数、自然数、整数等概念.本书用表示全体正整数的集合,用表示全体自然数的集合,用表示全体整数的集合;并且约定,如果没有特别声明,以后我们用小写的拉丁字母或希腊字母等表示整数.我们还知道,任意两个整数的和、差、积仍然是整数,但是用一个不为零的整数除另一个整数所得的商却不一定是整
2、数.那么,什么情况下一个整数除另一个整数所得的商是整数呢?这就是整数的整除性问题.为此我们先给出整除的概念.定义1设均为整数且.如果存在整数使得,则称整除，或能被整除,记作.此时我们也把叫做的因数(或约数),叫做的倍数.如果不存在整数使得,则称不整除或不能被整除,记作.例如,.应当注意的是,符号本身包含了条件.根据整除的定义及整数的性质,我们不难证明下列有关整除的性质.定理1下列结论成立;9若,则;,其中是任意整数;,其中;若,则当时,当时;若,则.证只证及,其它性质请读者自证.必要性因由推出存在,使得,于是,故.充分性对每一个,取,得到充分性证明.若,则由知.当时有,得.而当时,有,
3、此时因从而必有,得.这些看起来十分简单的性质是非常有用的.例1证明:(1)若,则.(2)设为非零整数,且存在整数使得.则当时有.证不难发现,(1)是(2)的特例.(1)由知存在整数使,所以.又因,依定理1得,即.因而依定理1有.(2)由条件有,而,依定理1得.9根据整除的定义,若整数,则的所有倍数的集合是.这个集合是完全确定的.显然,零是这个集合的一个元素,因而零是所有非零整数的倍数,或说所有非零整数都是零的因数.我们再来考察非零整数的因数.显然都是的因数,的这些因数称为的平凡因数,的其它因数(如果存在的话)称为的非平凡因数(或真因数).由定理1可知,如果是的非平凡因数,则.于是非零整
4、数的所有因数的集合是一个非空有限集,其元素个数是确定的.例如对于,它的全体因数是:,12共有12个因数,其中是它的真因数.而对于,它的全体因数是:,11共有4个因数,它没有真因数.例2设是非零整数的所有因数的集合,.则.证对每一个,因为,所以存在整数使得,于是是整数,且,故每一个都是的因数.又当时,,因此是的个不同的因数.由于非零整数的因数个数是确定的,所以也是的所有因数的集合,因此有.例3设为正整数,求证:.证用数学归纳法证.当时,因为,所以结论成立.假设时,结论成立,即9.则当时,.因为,,所以,这就是说,时结论也成立.根据归纳原理,当为正整数时,.例4设均为整数,证明:若,则.证
5、注意到,由条件及定理1即知.二带余数除法前面我们对能够整除的情形进行了初步讨论.对于一般情形,我们有下面的重要定理.定理2设,是任意两个整数,则存在唯一的一对整数,使得.(1)证存在性当时,作整数列则必介于上述数列某相邻两项之间,即存在整数使得.令9,则.于是存在整数,使得.当时,,由前一情形可知,存在整数,使得.令,则.存在性得证.唯一性若也是使得(1)式成立的两个整数,即,则,因而,,这就是说且.由定理1知,从而.唯一性得证.定理2中的分别称为被除数除以除数的商和余数.这个定理叫做带余数除法定理.从定理易知,如果,那么的充要条件是.定义2能被2整除的整数称为偶数,不能被2整除的整数
6、称为奇数.根据带余数除法定理,我们常将偶数表示成的形式,将奇数表示成或的形式.例5证明:当为整数且时,只可能是0,1,8.证设,则.根据条件及定理2得9.若,则;若,则;若,则.故只可能是0,1,8.例6证明:任意两个奇数的积是奇数,任一偶数与任一整数的积是偶数.证设奇数,则与的积仍是奇数.同理可证另一结论.例7已知,是整数,且.讨论,的奇偶性.解由条件可得,故必是奇数.设,则.所以是偶数.例8以表示正整数的正因数的个数.判断的奇偶性.解对于正整数,如果是它的一个正因数,则也是的正因数;当且仅当,即时,与是同一个数.因此,当不是完全平方数时的正因数是成对出现的,此时,是偶数;当是完全平
7、方数时,是奇数.因为,所以在中恰有44个奇数,故是偶数.例9设的系数都是整数,且有某一奇数,使是奇数.求证:无奇数根.证对任意奇数有9.由于为奇数,而上式第二项是偶数,所以是奇数,即.故无奇数根.三能被某些数整除的数的特征能被整除的特征就是能被整除的充要条件.为叙述方便,我们引进记号,其中为中的某个数字,且.定理3设,则能被2(或5)整除的特征是能被2(或5)整除;能被4(或25)整除的特征是能被4(或25)整除;能被8(或125)整除的特征是
