带余数的除法

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1、第四讲带余数的除法　　前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。　　一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。　　当r=0时，我们称a能被b整除。　　当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。例1一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。分析这是一

2、道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。　　解：∵被除数÷除数=商…余数，　　即被除数=除数×商+余数，　　∴251=除数×商+41，　　251-41=除数×商，　　∴210=除数×商。　　∵210=2×3×5×7，　　∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。例2用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？　　解：∵被除数=

3、除数×商+余数，　　即被除数=除数×40+16。　　由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，　　∴（除数×40+16）+除数=877，　　∴除数×41=877-16，　　除数=861÷41，　　除数=21，　　∴被除数=21×40+16=856。　　答：被除数是856，除数是21。例3某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？　　解：十月份共有31天，每周共有7天，　　∵31=7×4+3，　　∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。　　∴这年的10月1日是星期四。例43

4、月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？　　解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），　　从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.例5一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。　　这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”　　关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零

5、五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：　　方法1：2×70+3×21+2×15=233　　233-105×2=23　　符合条件的最小自然数是23。例5的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：　　方法2：[3，7]+2=23　　23除以5恰好余3。　　所以，符合条件的最小自然数是23。　　方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。例6一个数除以5余3

6、，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。分析“除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。　　解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。　　想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？　　28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，　　又148＜210=[5，6，7]　　所以，适合条件的最小的自然数是148。例7一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。　　解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？　　2+3×2=8。　　再想：8+

7、[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？　　8+[3，5]×3=53。　　∴符合条件的最小的自然数是53。　　归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。　　解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。例8一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？　　解：2+[5，7]×1=37（个）　　∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，　　∴布袋中至少有

8、小球37个。例969、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。分析在解答此题之前，我们先来看下面的例子：　　15除以2余1，19除以2余1，　　即15和19被2除余数相同（余数都是1）。　　但是19-15能被2整除.　　由此我们可以得到这样的结论：如果两个整