量子力学基础习题

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1、《量子力学》基础习题 1.在0K附近,钠的价电子能量约为3电子伏,求其德布洛意波长。2.氦原子的动能是(k为玻耳兹曼常数),求时,氦原子的德布洛意波长。3.设质量为的粒子在谐振子势中运动,用量子化条件求粒子能量E的可能取值。4.两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少? 5.证明在定态中,几率密度和几率流密度与时间无关。6.由下列两定态波函数计算几率流密度;(1),(2)7.求粒子在一维无限深势阱中运动的能级和波函数。8.证明(2.6-14)式中的归一化

2、常数是。9.求一维线性谐振子处于第一激发态时几率最大的位置。10.一维运动的粒子处于如下状态:其中,(1)(1)将此波函数归一化,(2)(2)问在何处找到粒子的几率最大?11.设在球坐标系中,粒子的波函数为,求(1)在球壳中找到粒子的几率,(2)在方向,立体角元中找到粒子的几率。12.求三维各向同性谐掁子的能级和波函数。13.设和都是一维定态薛定谔方程的解,而且它们属于同一能级E,试证明:constant.14.上题中,若和描述的都是束缚态,试证明和只相差一个常数因子。(提示:所谓束缚态,即当时有)15.一维线性谐

3、振子处于基态,求(1)势能的平均值(2)动能的平均值(3)动量的几率分布函数。16.氢原子处于基态,求:(1)的平均值;(2)势能的平均值;(3)最可几半径;(4)动能的平均值;(5)动量的几率分布函数。17.一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式是。L为角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数:(1)转子绕一固定轴转动;(2)转子绕一固定点转动。18.一维运动的粒子的状态是其中,求(1)粒子动量的几率分布函数;(2)粒子的平均动量。19.在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为,如果粒子

4、的状态由波函数描写,A为归一化常数,求粒子能量的几率分布和能量的平均值。20.设氢原子处于状态    求氢原子的能量,角动量平方及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。21.求(3.7)题中粒子位置和动量的测不准关系22.已知和是二个厄密算符,试证明:(1)(1)也是厄密算符(2)(2)也是厄密算符23.求解算符的本征值和本征函数。24.令和,试证明(1),(2)25.求动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。26.求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。27.求在动量表象中线

5、性谐振子的能量本征函数。28.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。29.设已知在和表象中,算符和和矩阵分别为   , 求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵和对角化。30.求下面四个矩阵元:,,和。31.已知某表象的三个基矢为:,有两个算符和,它们有如下性质:,,,,,,试写出算符,,和的矩阵。32.实际原子核不是一个点电荷,它具有一定大小,可近似视为半径为的均匀分球体它产生的电势为为核电荷,试把非点电荷效应看成微扰,计算原子的能级的一级微扰修正。33.设,,(为实数)用微扰论求解能级修正(准到二级近似

6、),并与严格解(把矩阵对角化)比较。34.一维无限深势阱(0,a)中的一个粒子在时刻处于如态:,求时刻的状态波函数。35.已知某体系的哈密顿算符,其中无微扰哈密顿算符和微扰在表象中的矩阵分别为:,,试用微扰论方法求能级。(精确到二级修正)36.体系无微扰的能级E是二度简并,波函数是和,它们是相互正交归一的。现有微扰,而且有,,求一级近似的能级和相应的零级近似波函数。37.求证:38.在本征态下,求39.在表象中,求和的本征值和本征矢量。40.求自旋角动量在方向的投影    的本征值和所属的本征函数。41.设氢原子状

7、态是     (1)求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值;(2)求总磁矩  (SI)的z分量的平均值(用玻尔磁子表示)。42.一体系由三个全同的玻色子组成,玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个?它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?43.证明,,和组成正交归一系。44.设两电子在弹性中心力场中运动,每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和可以忽略,求当一个电子处在基态,另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时,两电子组成体系的波函数。

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