量子力学基础习题

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1、《量子力学》基础习题 1．在0K附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布洛意波长。2．氦原子的动能是（k为玻耳兹曼常数），求时，氦原子的德布洛意波长。3．设质量为的粒子在谐振子势中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。4．两个光子在一定条件下可发转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？ 5．证明在定态中，几率密度和几率流密度与时间无关。6．由下列两定态波函数计算几率流密度；（1），（2）7．求粒子在一维无限深势阱中运动的能级和波函数。8．证明（2.6-14）式中的归一化常数是。9．求一维线性谐振

2、子处于第一激发态时几率最大的位置。10．一维运动的粒子处于如下状态：其中，(1)(1)将此波函数归一化，(2)(2)问在何处找到粒子的几率最大？11．设在球坐标系中，粒子的波函数为，求(1)在球壳中找到粒子的几率，(2)在方向，立体角元中找到粒子的几率。12．求三维各向同性谐掁子的能级和波函数。13．设和都是一维定态薛定谔方程的解，而且它们属于同一能级E，试证明：constant.14．上题中，若和描述的都是束缚态，试证明和只相差一个常数因子。(提示：所谓束缚态，即当时有)15．一维线性谐振子处于基态，求（1）势能的平均值（2）动能的平均值

3、（3）动量的几率分布函数。16．氢原子处于基态，求：（1）的平均值；（2）势能的平均值；（3）最可几半径；（4）动能的平均值；（5）动量的几率分布函数。17．一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是。L为角动量。求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：（1）转子绕一固定轴转动；（2）转子绕一固定点转动。18．一维运动的粒子的状态是其中，求（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。19．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。20．

4、设氢原子处于状态　　　　求氢原子的能量，角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。21．求（3.7）题中粒子位置和动量的测不准关系22．已知和是二个厄密算符，试证明：(1)(1)也是厄密算符(2)(2)也是厄密算符23．求解算符的本征值和本征函数。24．令和，试证明(1)，(2)25．求动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。26．求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。27．求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。28．求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。29．设已知在和表象中，算符和和

5、矩阵分别为　　　，　求它们的本征值和归一化的本征函数。最后将矩阵和对角化。30．求下面四个矩阵元：，，和。31．已知某表象的三个基矢为：，有两个算符和，它们有如下性质：，，，，，，试写出算符，，和的矩阵。32．实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为的均匀分球体它产生的电势为为核电荷，试把非点电荷效应看成微扰，计算原子的能级的一级微扰修正。33．设，，（为实数）用微扰论求解能级修正（准到二级近似），并与严格解（把矩阵对角化）比较。34．一维无限深势阱（0，a）中的一个粒子在时刻处于如态：，求时刻的状态波函数。35．已知某体

6、系的哈密顿算符，其中无微扰哈密顿算符和微扰在表象中的矩阵分别为：，，试用微扰论方法求能级。(精确到二级修正)36．体系无微扰的能级E是二度简并，波函数是和，它们是相互正交归一的。现有微扰，而且有，，求一级近似的能级和相应的零级近似波函数。37．求证：38．在本征态下，求39．在表象中，求和的本征值和本征矢量。40．求自旋角动量在方向的投影　　　　的本征值和所属的本征函数。41．设氢原子状态是　　　　　（1）求轨道角动量z分量和自旋角动量z分量的平均值；（2）求总磁矩　　（SI）的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）。42．一体系由三个全同的玻色

7、子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？43．证明，，和组成正交归一系。44．设两电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是。如果电子之间的库仑能和可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处于沿x方向运动的第一激发态时，两电子组成体系的波函数。