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时间:2018-09-20
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1、第一章习题解答1.设随机变量X服从几何分布,即:。求X的特征函数,EX及DX。其中是已知参数。解=又(其中)令则同理令则)2、(1)求参数为的分布的特征函数,其概率密度函数为(2)其期望和方差;(3)证明对具有相同的参数的b的分布,关于参数p具有可加性。解(1)设X服从分布,则(2)(4)若则同理可得:3、设X是一随机变量,是其分布函数,且是严格单调的,求以下随机变量的特征函数。(1)(2)解(1)()在区间[0,1]上服从均匀分布的特征函数为(2)==4、设相互独立,且有相同的几何分布,试求的分布。解====5、试证函数为一特征函数,并求它所对应的随机变量
2、的分布。证(1)为连续函数====非负定(2)==()6、证函数为一特征函数,并求它所对应的随机变量的分布。解(1)=()且连续为特征函数(2)===7、设相互独立同服从正态分布,试求n维随机向量的分布,并求出其均值向量和协方差矩阵,再求的率密度函数。解又的特征函数为:均值向量为协方差矩阵为又8、设X.Y相互独立,且(1)分别具有参数为及分布;(2)分别服从参数为。求X+Y的分布。解(1)====则(2)9、已知随机向量(X、Y)的概率密度函数为求其特征函数。解 = = =10、已知四维随机向量服从正态分布,
3、均值向量为0,协方差矩阵为 解 又 = 其中 11、设相互独立,且都服从,试求随机变量组成的随机向量的特征函数。 解 = ==12、设相互独立,都服正态分布,试求:(1)随机向量的特征函数。(2)设,求随机向量的特征函数。(3)组成的随机向量的特征函数。解(1) (2) = = =(3) = =13、设服从三维正态分布,
4、其中协方差矩阵为,且试求。解 = 又 同理可得 14、设相互独立同服从分布。试求的期望。解 令 则 = = 15、设X.Y相互独立同分布的随机变量,讨论的独立性。解有或则又服从指数分布, 服从柯西分布,且对有相互独立。16、设X.Y相互独立同服从参数为1的指数分布的随机变量,讨论的独立性。解(1)(2)(3)对均成立相互独立17、设二维随机变量的概率密度函数分别如下,试求(1)(2)证(1)=(2)18、设X、Y是两个相互独立同分布的随机变
5、量,X服从区间[0,1]上的均匀分布,Y服从参数为的指数分布。试求(1)X与X+Y的联合概率密度;(2)解令则(2)19、设是一列随机变量,且,其中K是正常数。试证:(1)当。(2)当均方收敛于0;(3)当证令0(当,)几乎肯定收敛于0当均方收敛于0当时,即20、设证=
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