数理统计学习辅导

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1、Ch1数理统计的基本概念1.1数理统计的基本问题1.1.1数理统计的任务例1实验：随机在一大批产品中抽取产品进行检验。（1）一旦查出废品即停止试验，认为该批产品不合格；（2）若到第件还未查出废品也停止试验，认为该批产品合格。设为检查件数，则z的概率分布为k1(1p)p,k1,2,,n01P(zk)(1p)n01,kn0若p已知，可解决概率问题：n01E(z)k(p1)k1pn(1p)n010x1n01p(xk)n(1p)n01x1p0x11[1(n1)p](1p)n010p（2）

2、若未知，则需解决统计问题：1有实验结果推断出：(Ⅰ)估计p；(Ⅱ)检验p≤p0;(Ⅲ)设计n0=？k数理统计的基本思想：从全体研究对数中抽取一部分实验，由实验结果推断全体的数理规律。1.1.2总体与样本总体研究对象（数量指标）的全体（统计规律）。z或其分布F(x)iid样本独立同分布的个随机变量X1,X2,…,Xn，记X1,X2,…,Xn~F(x)样本观察值x1,…xn~样本的一次实现（n个实数）1.1.3经验分布与直方图（非高数统计）0,xx(1)经验分布函数Fn(x)=kn,x(k)xx(k1),k2,,n11,xx(n)其

3、中x1,…,xn,→-∞=x(1)≤…≤x(n)

4、计量，但(zi)不是nii1i1n1样本均值zzi→Ezni1n2122样本方差S(ziz)→Dzn1i1n1kk样本阶原点矩Mkzi,(M1z)→kEzni1n1k~2n12k样本阶中心矩Vk(ziz),(V2SS)→vkE(z)ni1n次序统计量z(1)≤z(2)≤…≤z(n)z(m1),n2m1~中位数z1(z(m)z(m1)),n2m2极差R=X(n)X(1)1.2抽样分布1.2.1几个重要的统计分布22X(1)正态分布N(,),X~N(,)～N

5、(0,1)22222(2)分布～YXXX～(n)12n其中X1,X2,…,Xn~N(0,1)nn数字特征：EYEXin，DYDXi2ni1i12(n22可加性：Y1~1)与Y2~(n2)相互独立Y1+Y2~(n1+n2)222上侧分位点(n)：P(y(n))2x(n)X(3)t分布～～t(n)Yn2其中X~N(0,1)与Y~(n)独立对称性：P(Tt)P(Tt)ET02t1渐进正态性：TFN(0,1)：limf(t)(t)e2Tn2上侧分位点t(n)：P(Tt(n)

6、)(t(n)t(n))1t(n)Y1n1(4)F分布～F～F(n,n)12Y2n2其中Y221~(n1)与Y2~(n2)独立上侧分位点F(n,n)：P(FF(n,n))12123F(n,n)12例2证明：F(nn)111,2F(n,n)21证明：由F分布定义知若F～F(n,n)，则1F(n,n)12F21P(FF(n,n))P(111-P(111-112FF(n,n)FF(n,n)112112即P(11故F(nn)1FF(n,n)11,2F(n,n)112211.

7、2.2抽样定理2定理设X1,X2,…,Xn~N(,),则2(1)X～N(,)；(2)n1S2～2(n1)；(3)X与S2独立n2证明：(1)由正态分布的线性性质11XXX～N(EX,DX)1nnnnn112EXEX，DXDXninini1i1n(2)n1S2=(XiX)2,而XiX～N(0,?)2i1nnXX1i且=(XinX)=0故自由度为n-1i1i1(3)由于中心化XX过虑了的信息，而X则集中了的信息iX推论1Tn～t(n1)S10X～N(0,1)，20n

8、1S2～2(n1)，3010与20独立22n