一题多解专题二:已知函数的单调性求参数范围问题

一题多解专题二:已知函数的单调性求参数范围问题

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1、一题多解专题二:已知函数的单调性求参数范围问题已知函数单调性,求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.(2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解.例:若函数在上单调递减,求实数的取值范围.思路点拨:先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解.解析:方法一:由在上单调递减知,即在上恒成立,即在上恒成立.故只需,故.综上可知,的取值范围是[3,+∞).方法二:当时,,故在上单调递增,与在上单调递减不符,舍去.当时

2、,由得≤x≤0,即的单调递减区间为,与在上单调递减不符,舍去.当时,由得0≤x≤,即的减区间为,由在上单调递减得,得a≥3.综上可知,的取值范围是[3,+∞).针对性练习:1.已知y=x3+bx2+(b+2)x+3是R上的单调增函数,则b的取值范围是(  )A.b<-1或b>2B.b≤-2或b≥2C.-1<b<2D.-1≤b≤2解析 D 由题意,得y′=x2+2bx+b+2≥0在R上恒成立,∴Δ=4b2-4(b+2)≤0,解得-1≤b≤2.2.函数f(x)=x3+(2-a)x2-2ax+5在区间[-1,1]上不单调,则a的取值范围是_______

3、_. 解析 f′(x)=x2+(2-a)x-2a=(x+2)(x-a)=0的两根为x1=-2,x2=a.若f(x)在[-1,1]上不单调,则-10,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调增函数,则a的最大值是________. 解析 由题意知,f′(x)=3x2-a在[1,+∞)上有3x2-a≥0恒成立,∴a≤(3x2)min,而(3x2)min=3,∴a≤3.4.已知f(x)=ex-ax-1.若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围. 解析∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.∵f(x)在R上单

4、调递增,∴f′(x)=ex-a≥0恒成立,即a≤ex,x∈R恒成立.∵x∈R时,ex∈(0,+∞),∴a≤0.即a的取值范围为(-∞,0].5.函数f(x)=-mx+5在区间[-2,+∞)上是增函数,则f(1)的取值范围是________.解析 由题意知≤-2,∴m≤-16,∴f(1)=9-m≥25.6.已知函数在R上是减函数,求实数a的取值范围.解 由题意得f′(x)=3ax2+6x-1.若f(x)在R上是减函数,则(x∈R)恒成立,∴解得a≤-3.故实数a的取值范围是(-∞,-3].7.已知函数在(-∞,1]上是增函数,试求实数a的取值范围.

5、解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+1,由于函数f(x)在(-∞,1]上是增函数,∴当x∈(-∞,1]时,(在个别点f′(x)可以为0)恒成立,即3x2+2ax+1≥0在x≤1时恒成立.令g(x)=3x2+2ax+1,∴Δ=4a2-12≤0或,即a2≤3或∴a2≤3,即-≤a≤.故a的取值范围是[-,].

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