高等数学下复习纲要

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1、光华园http://ghy.swufe.edu.cn/光华园学习网http://ghy.swufe.edu.cn/study09/第七章常微分方程一、本章学习要求与重点和难点（一）基本要求1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法.3．了解二阶线性微分方程解的结构.4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.5．会求自由项为或，时的二阶常系数非齐次线性微分方程的解.6.知道特殊的高阶微分方程（，，）的降阶法.7．会用微分方程解决一些简单的实际问题.重点微分方程的通解与特解等概

2、念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。难点一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题.二、主要解题方法301．一阶微分方程的解法例1求微分方程满足条件的特解.解这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有两边积分，得求积分得，记，得方程的解.可以验证时，，它们也是原方程的解，因此，式中的可以为任意常数，所以原方程的通解为（为任意常数）.代入初始条

3、件得，所以特解为.例2求微分方程（1），（2）的通解.30（1）解一原方程可化为，令，则，即，两边取积分，积分得，将代入原方程，整理得原方程的通解为（为任意常数）.解二原方程可化为为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程，得其通解为.设为原方程的解，代入原方程，化简得所以原方程的通解为，即（为任意常数）.（2）解这里，代入通解的公式得30（为任意常数）.小结一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式，也可直接利用公式）求通解.2．可降阶的高阶微分方程例3求微分

4、方程的通解.解方程中不显含未知函数，令代入原方程，得微分方程是关于未知函数的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以30由此因此，原方程的通解为（为任意常数）.例4求微分方程满足初始条件，的特解.解方程不显含，令，则方程可化为当时，于是.根据，知代入上式，得，从而得到，积分得，再由，求得，于是当时，原方程满足所给初始条件的特解为，30当时，得(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解中.故原方程满足所给初始条件的特解为，即.2．二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法例5求微分方程的通解.解原方程对应的特征方程为（1）当，即或时，特征方

5、程有两个不相等的实根，，故原方程的通解为.（2）当，即或时，特征方程有两个相等的实根故原方程的通解为.（3）当，即时，特征方程有两个共轭复根故原方程的通解为30.4．二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法例6求微分方程满足初始条件，的特解.解对应齐次方程的特征方程为，特征根．故对应齐次微分方程的通解为.因为是特征方程的单根，所以设特解为代入原方程得比较同类项系数得，从而原方程的特解为故原方程的通解为，由初始条件时，，得从而，.因此满足初始条件的特解为.例7求微分方程的通解.解对应的齐次微分方程的特征方程，特征根.于是所对应的齐次微分方程通解为为了

6、求原方程的一个特解,先求30的特解.由于是特征方程的单根，且是零次多项式。所以设特解为，代入原方程，化简得比较同类项系数，得所以，方程的特解为其虚部即为所求原方程的特解.因此原方程通解为.小结在设微分方程的特解时，必须注意把特解设全.如：，那么，而不能设.另外，微分方程的特解都是满足一定初始条件的解，上面所求的特解一般不会满足题设初始条件，因此需要从通解中找出一个满足该初始条件的特解.5．用微分方程解决实际问题的方法例8已知某曲线经过点，它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的方程.解设所求曲线方程为为其上任一点，则过点的曲线的切线方程为，

7、30由假设，当时，从而上式成为.因此求曲线的问题，转化为求解微分方程的定解问题的特解.由公式，得代入得，故所求曲线方程为.小结用微分方程解决实际问题，包括建立微分方程，确定初始条件和求解方程这几个主要步骤.由于问题的广泛性，一般建立微分方程要涉及到许多方面的知识，如几何、物理等.三、学法建议1．本章重点为微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法.2．本章中所讲的一些微分方程，它们的求解方法和步骤都已规范化，要掌握这些求解法，读者首先要善

8、于正确地识别方程的类型，所以必须熟悉本课程中讲了哪些标准型，每种标准型有什么特征，以便“对号入座”，还应熟记每一标准型的解法，即“对症下