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1、第一讲:极限与连续一.变量(数列与函数):1.数列:(1)通项公式;(2)递推公式().2.初等函数:(1)基本:幂,指数,对数,三角,反三角;(2)运算:四则与复合;(3)特别:.3.分段函数:(1);(2);(3)附:极限函数(如)4.复合函数(含):(如).5.隐函数(方程):(如双纽线).6.参式方程(数一,二):(如摆线).7.待续:(1)变限积分函数:.(2)收敛级数的和函数(数一,三):.(3)二元函数.8.反函数与直接函数:.二.特征(几何):1.定义域:(1)常识;(2)目的.2.单调性:(1)定义(
2、特征);(2)判别(求导);(3)数列单调性判别;(4)实用结论:单调定号.3.有界性:(1)常见如;(2)结论:闭区间上连续函数必有界4.奇偶性:(1)奇函数如;(2)偶函数如5.周期性:如等.53三.极限概念:1.类型:(1);(2)与;(3)与.2.无穷小():(1)常见:.(2)性质:其中为无穷小.3.无穷大:(1)常见:.(2)了解:.(3)区别:*与;*无穷大与无界量.4.性质:(1)唯一性;(2)有界性;(3)保号性;(4)归并性(如:).5.运算法则(确定型):(1)四则运算;(2)复合运算;(3)幂指
3、型;(4)特别:.6.未定型:例1.若,则:[];;时;时,四.实用结论:(1),,,.(2),,,.(3),.53例2..五.必备公式:1.等价无穷小:当时,(1);;;(2);;;(3);.2.泰勒公式:(1);(2);(3);(4);(5).六.常规方法(未定型):前提:(1)准确判断(其它如:);(2)变量代换(如:)1.抓大弃小:(如:)例3.例4.2.无穷小与有界量乘积()(注:)例5:(1);(2).例6.=.533.极限()()(后续如:)例7.[]例8.[]4.左右极限(包括):注(1);(2);;(
4、3)分段函数:,,.5.无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注:非零因子)(极限:)例9..例10.[,原式]例11.[]6.洛必达法则(或)(后续)(1)先”处理”,后法则(的最后方法);(注:不能用与不便用);(2)幂指型处理:如,;(3)含变限积分;(4)推广:如.例12.注意对比:(1);(2)例13.设,求:.[,原式]53例14.设,且:,求:(1)的表达式,(2)及.[(1);(2)]7.泰勒公式(皮亚诺余项):等价替换的补充例15.,原式=]例16.对比计算(1);(2).8.极限函数:(分段函数)例17
5、.计算:,并讨论函数的连续性[,为第二类间断点]9.收敛准则:(1)(如)(2)双边夹:满足:若,且(3)单边挤:考察:***例18.[]例19.若,求:[(1),记(2)]例20.,(1)证明:;(2)求:,,,53七.非常手段(后续)1.导数定义(与洛必达的区别):例21.若,求:[原式]2.中值定理:例22.[]3.积分和:,例23.[]4.级数和(数一三)(注意与积分和的区别):(1)收敛,(如)(2)与同敛散例24.[]八.常见应用:1.无穷小比较(等价,阶):(1)定义:当时,考察极限(2)分类:高阶;低阶
6、;同阶;等价(3)常用:考察(称为的阶无穷小)方法:53特别:当时,例25.当时,?[]2.渐近线(含斜):(1)垂(铅)直渐近线:;(2)水平渐近线:;(3)斜渐近线(当时):若,并计算.例26.[]3.连续性:(1)间断点判别(个数);(2)分段函数连续性(附:极限函数,连续性)(1)连续三要素(附单侧连续);(2)间断点判别:(注:)第一类可去(如)第一类跳跃(如;;)第二类间断(如无穷类:;振荡类:)例27.在上连续,且,则常数应满足:例28.设.(1)写出连续区间;(2)确定间断点,并判别其类型.[(1);(
7、2)可去]53例29.,考察的连续性.[(1);(2)]例30.求的间断点,并判别类型.[无穷]九.上连续函数性质1.连通性:(注:,“平均”值:)2.介值定理:(1)零点存在定理:(根的个数);(2)利用罗尔定理(后续):.(3)积分中值定理(后续):(其中)(4)附(达布定理):在可导,,,使:例31.在上连续,非负,且,证明:,使得:[异号]例32.设在上连续,且,证明:存在,使得.解:令在上连续,且任取,当时,取即可;当时,,,使.53第二讲:一元导数与微分一.基本概念:1.差商与导数(变化率):(1);(2)
8、特别:(注:连续,)(3)左右导:;(实用:若连续,且,则)(4)可导必连续:先连续,后求导.(注:在处,连续不可导;可导).(5)曲线的切线与法线:;(区别:上点和过点的切线)(6)物理:(相对)变化率速度.例1.设连续,且,求曲线在点处的切线方程.例2.设有二阶连续导数,且,又设是曲线在点处的切线在轴上的截距,求.2.微分与导
