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1、1.全概率公式贝叶斯公式1.某保险公司把被保险人分成三类：“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.3。并且它们分别占投保总人数的20%，50%和30%。现已知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”保险户的概率是多少？解：设Ai、A2、A3分别表示“谨慎的”“一般的”和“冒失的”保险户，B表示“发生事故”，由贝叶斯公式知2.老师在出考题时,平时练习过的题目占60%.学生答卷时,平时练习过的题目在考试时答对的概率为90%,平时没练习过的题目在考试时答对的概率为30%,求:(1)考生在考试中答对第一道题
2、的概率;(2)若考生将第一题答对了,那么这题是平时没有练习过的概率.3.在蔬菜运输中，某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为0.2,0.5,0.3。在三地拉到一级菜的概率分别为10%，30%，70%。1）求能拉到一级菜的概率；2）已知拉到一级菜，求是从乙地拉来的概率。解：1、解：设事件表示拉到一级菜，表示从甲地拉到，表示从乙地拉到，表示从丙地拉到则，；，,则由全概率公式得=—（7分）(2)拉的一级菜是从乙地拉得的概率为—————————（10分）2.一维随机变量5.设随机变量X在区间[0,1]上服从均匀分布，求随机变量的密度函数.6.证明:设,则时,Y~=7
3、.设随机7.变量X的密度函数求（1）c的值；（2）；（3）EX(4)的分布函数.解：(1)由密度函数的性质得：故c=--------------------------------（4分）(2)----------（7分）(3)EX=---（10分）8.设连续型随机变量X的分布函数为，求:(1)系数A;(2)X的分布密度f(x);(3)解：(1)A=1;(2);(3)0.53.二维随机变量10.设（X，Y）的分布为YX-101-1011/81/81/81/801/81/81/81/8证明X与Y不相关，也不独立。证明：cov（X，Y）=EXY-EXEY--------（1分
4、）而EXY=0EX=0，EY=0--------------（3分）故X与Y不相关。--------（5分）下证独立性-------（8分）故X与Y也不独立。----------------（10分）11.(X,Y)服从区域D上的均匀分布,，证明X与Y不独立也不相关.12.设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中D={(x,y)
5、x2+y21},求：（1）X与Y的边缘密度函数；（2）判断X与Y是否独立。解：(1)fX(x)=，fY(y)=(2)X与Y不独立。4.中心极限定理13.某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，各机床开关独立，开动时每部要耗电1
6、5个单位，问至少要供应该车间多少单位电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.(F(1.64)=0.95,≈6.48).解：用表示任一时刻车间有同型号机床，则，则,——（3分）假定至少需要单位电能，则有：由中心极限定理可得：———（8分）从而有：，所以，故至少需准备2265单位电能—————（10分）14.某学院校园网中家属区每晚约有400台电脑开机,而每台电脑约有的时间登入互联网,并且假定各台电脑是否上互联网彼此无关,计算其中至少300台同时在互联网上的概率.((2.5)=0.99379)15.某计算机有120个终端，每个终端在一小时内平均有3分钟使用打印机
7、，假定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有10个终端同时使用打印机的概率。(F(1.68)=0.95352,≈2.3874)解：每个终端使用打印机的概率为p=1/20，设同时有X个终端使用，则X～B(120,1/20)，EX=np=6，DX=npq=5.7，由于n=120很大，由中心极限定理，近似地X～N(6,5.7)∴P(X≥10)=1-F(10)=1-()=1-(1.68)=1-0.95352=0.0464816.某种电子元件的寿命服从指数分布，已知其平均寿命为100小时，将3个这样的元件串联在一个线路中，求：在150小时后线路仍正常工作的概率。解：由题可知----
8、-------（2分）则某电子元件的寿命超过150小时的概率为-----------（8分）故三个串联150小时仍正常的概率为--------（10分）5.极大似然估计17.设总体X的密度函数为(),若为来自总体的一个样本,求未知参数的最大似然估计值.18.设总体的分布密度为，若为来自总体的一个样本,求未知参数的最大似然估计。解：似然函数L(X1,X2,…Xn,)=s)=lnL=nlnθ+ln(θ-1)，由解得所求最大似然估计量19.设为总体的一个样本，且的概率分布为,为来自总体的一个样本观察值，求的极大似然估计值.证明：
