专题：数列及其数列求和

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1、专题：数列及其数列求和一、基本知识1．定义：(1).数列：按一定次序排序的一列数(2)等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列叫做等差数列(3)等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列叫做等比数列2．通项公式与前n项和公式为等差数列：为等比数列：（q3．常用性质为等差数列，则有（1）从第二项起，每项是前一项与后一项的等差中项，（n>1）（2）（3）若m+n=p+q,则：，特殊的：若m+n=2r,则有：（4）若则有：（5）若（6）为等差数列为常数)（7）┅┅仍成等差数列（8）为等差数列，则为

2、等差数列（p，q为常数）（9）若项数为偶数2n，，若项数奇数2n－1，，（10）为等比数列，则有（1）只有同号的两数才存在等比中项（2）（3）若m+n=p+q,则：，特殊的：若m+n=2r,则有：（4）为等比数列，则，，{}为等比数列（）（5）等比数列中连续n项之积构成的新数列仍是等比数列，当时，连续项之和仍为等比数列（6）二、在数列中常见问题：1、等差数列的通项公式是关于n的一次函数，4（定义域为正整数集），一次项的系数为公差；等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，二次项系数为公差的一半，常数项为0.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：2、等差数

3、列当首项a1>0且公差d<0时(递减数列)，前n项和存在最大值。利用确定n值，即可求得sn的最大值（也可以用二次函数的性质或图象解）。等差数列当首项a1<0且公差d>0时（递增数列），前n项和存在最小值。3、遇到数列前n项和Sn与通项an的关系的问题应利用4、满足的数列，求通项用累加（消项）法，如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an+2n,求an；满足的数列，求通项用累乘（消项）法，如：已知数列{an}中，a1=1,an+1=an,求an；三、数列求和的常用方法：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和等差数列：；等比数列：；(2)分组求和：如：求1+1,,,…,,…的前n项

4、和可进行分组即：前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和（注：）(3)裂项法：如，求Sn，常用的裂项，；(4)错位相减法：其特点是cn=anbn其中{an}是等差，{bn}是等比如：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+……+(2n－1)xn－1注意讨论x，4(5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n—1)Cnn=(n+1)2n错位相减法：例1求和例2求数例1，3a，5a2，7a3，…(2n－1)an-1，…(a≠1)的前n项和．　解：因Sn=1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an-1，(1)　　(1)×a得aSn=a

5、＋3a2＋5a3＋…(2n－3)an-1＋(2n－1)an，（2）　　两式相减得　　(1－a)Sn=1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an-1－(2n－1)an　　=2(1＋a＋a2＋a3＋…＋an-1)－(2n－1)an-1　　=所以:例3．已知数列的首项，，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）数列的前项和．解：（Ⅰ），，又，，数列是以为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．设…，①则…，②由①②得…，4．又…．数列的前项和．例4：已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12，令bn=anxn(x∈R)，求数列{bn}的前n项和公式。裂项相消法：例1求和：解

6、：，例2：数列{an}通项公式是，若前n项的和为10，求项数。例3：求和分部求和法：例1已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求解：首先由则例2已知数列的通项公式为，求其前n项和Sn例3：1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n；例4：倒序相加法：例1sin21°+sin22°+sin23°+……+sin288°+sin289°的值例2设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和：解：因为（1）（2）（1）+（2）得例3设，利用课本推导等差数列的前n项和公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(5)+f(6)4