专题数列求和

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1、专题数列求和授课人：张际兰2回归课本1.等差数列前n项和Sn＝n(a1＋an)2＝na1＋n(n－1)2d，推导：倒序相加法；等比数列前n项和Sn＝îïíïìna1，q＝1，a1(1－qn)1－q＝a1－anq1－q，q≠1.推导：乘公比，错位相减．2．(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法．4．

2、常见的拆项公式有：例1．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为()A．2nB．2n－nC．2n＋1－nD．2n＋1－n－2解析：解法一：特殊值法，易知S1＝1，S2＝4，只有选项D适合，故选D.解法二：研究通项an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，∴Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝(21＋22＋…＋2n)－n＝2n＋1－n－2.答案：D类型一　　分组转化法求和解题准备：1.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但若把数列的每一项分成多个项或把数列的

3、项重新组合，就能转化为等差数列或等比数列．从而可以利用等差、等比数列的求和公式解决．这种求和方法叫分组转化法．2．此类问题求解的关键是要分析研究数列的通项公式．例2在数列{an}中，an＝1n＋1＋2n＋1＋…＋nn＋1，又bn＝2an·an＋1，求数列{bn}的前n项的和．类型二　　裂项相消法求和解题准备：1.裂项相消法是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，其实质是将数列中的某些项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．例3求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)an－1的前n项和，其中a≠0.[点

4、评]利用错位相减法求和的步骤是：①在等式两边同乘等比数列{bn}的公比；②将两个等式错位相减；③利用等比数列前n项和公式求和．类型三　　错位相减法求和解题准备：1.若数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列前n项和时，常常采用将{anbn}的各项乘公比，并向后错一项与{anbn}的同项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，这样求和的方法称为错位相减法．2．错位相减法是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，也是数列求和中经常用到的一种方法．