利用导数解决函数单调性问题

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1、函数极大值、极小值1、极大值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最大值点，即不等式对一切成立，就说函数f(x)在处取到极大值，并称为函数f(x)的一个极大值点，为f(x)的一个极大值。2、极小值：如果是函数f(x)在某个开区间上的最小值点，即不等式对一切成立，就说函数f(x)在处取到极小值，并称为函数f(x)的一个极小值点，为f(x)的一个极小值。3、极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点；若，则叫做函数f(x)的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。4、判别f(c)是极大、极小值的方法:若满

2、足，且在c的两侧的导数异号，则c是的极值点，是极值，并且如果在c两侧满足“左正右负”，则c是的极大值点，是极大值；如果在c两侧满足“左负右正”，则c是的极小值点，是极小值5、求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求f(x)的驻点，即求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都

3、为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值典例剖析例1已知在与时，都取得极值．(1)求的值；(2)若，求的单调区间和极值；分析：可导函数在点取到极值时，；求函数极值时，先求单调区间，再求极值。解：（1）f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0．由题设，x＝1，x＝－为f′(x)＝0的解．－a＝1－，＝1×(－)．∴a＝－，b＝－2．（2）f(x)＝x3－x2－2x＋c，由f(－1)＝－1－＋2＋c＝，c＝1．∴f(x)＝x3－x2－2x＋1．x（－∞，－）（－，1）（1，＋∞）f′(x)＋－＋∴f(x)的递增区间为（－∞，－），及（

4、1，＋∞），递减区间为（－，1）．当x＝－时，f(x)有极大值，f(－)＝；当x＝1时，f(x)有极小值，f(1)＝－．例2设函数的图象如图所示，且与在原点相切，若函数的极小值为，（1）求的值；（2）求函数的递减区间．分析;从图上可得是函数的极大值点，函数的图象经过（0，0）点且图象与x轴相切于（0，0）点，可先求出的值。解：（1）函数的图象经过（0，0）点∴c=0，又图象与x轴相切于（0，0）点，=3x2+2ax+b∴0=3×02+2a×0+b，得b=0∴y=x3+ax2，=3x2+2ax当时，，当时，当x=时，函数有极小值

5、－4∴，得a=－3（2）=3x2－6x＜0，解得0＜x＜2∴递减区间是（0，2）例3：已知函数+lnx,求的极值.解;因为f(x)=-,令f(x)=0，则x=注意函数定义域为（0，），所以驻点是x=,当x(0,)时f(x)<0,为减函数，当x(，+)时f(x)>0,为增函数，所以x=是极小值点，的极小值为f()=(1+ln2),没有极大值。评析：注意函数的定义域点击双基1、函数y=1+3x-x有（）A．极大值1，极小值-1，B。极小值-2，极大值2C．极大值3，极小值–2，D。极小值-1，极大值32、函数y=3+mx+x有极值

6、的充要条件是()Am>0Bm<0Cm0D,m0解析：=3+m=0则方程要有两解，函数y=3+mx+x才有极值。3、f(x)在区间（a,b）的图像如右Y则f(x)在区间（a,b）内有极大值点（）A2个B。3个C4个D1个aABCDx0b4、y=x+的极大值为＿＿＿＿＿＿极小值为＿＿＿＿＿＿＿＿5、若函数在处有极大值，则常数的值为_________；思悟小结1.可导函数f（x）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f（x）在x0处连续，在x0两侧的导数异号，那么点x0是函数f（x）的极值点.2.求可导函数f（x）

7、的极值的步骤如下：（1）求f（x）的定义域，求（x）；（2）由（x）=0，求其稳定点；（3）检查（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f（x）在这个根处不取极值.