例谈如何利用导数解决函数单调性问题-论文.pdf

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1、2015年8月1日理科考试研究·数学版·l3·例谈如何利用导数解决函数单调性问题甘肃省山丹县第一中学734100赵淑云“导数与微分”知识，是高中数学新教材选修本新增知识令Y>0得<一1或>1，点．本部分内容为高中阶段学生研究函数的性质，尤其是函数因为∈(一1，+。。)，的单调性提供了简洁方便的工具，具有重要的作用，同时它能所以函数Y的单调递增区间为(1，+。。)．够为中学生进入高校后学习高等数学奠定一定的基础．《普通再令Y<0得一1<<1．因为(一1，1)(一1，+∞)，高中数学新课程标准》其实对于该部分知

2、识主要突出了一个所以函数的单调递减区间为(一1，1)．“用”字．即学生会用导数与微分概念公式及相关知识解决有3．由函数的单调性求参数的取值范围关函数单调性和极值问题．本文主要例谈如何利用导数解决函例3已知函数_厂()=一n一1，在实数集R上Y=，()数单调性问题．单调递增，求实数n的取值范围．一、利用导数解决函数单调性问题的策略概述解析由已知，得()=3x一n．1．利用导数，判别函数的单调性法则为：如果函数Y=因为在实数集R上Y=，()单调递增，，()在的某个开区间内，总有厂()>0，则)在这个区间所以．厂

3、()=3x一a≥0对ER恒成立，上是增函数；如果函数Y=_厂()在的某个开区间内，总有即n≤3x恒成立．，()<0，则)在这个区问上是减函数；如果，()=0，则因为3≥0，所以只需a≤0．厂()为常数．又因为n=0时()=3x≥0，且等号仅在=0处才2．通常情况下，函数在它的定义区间上不是单调的，而对取得，即Y=l厂()在实数集R上单调递增．可导函数而言，它的单调递减和单调递增的区间分界点应是其所以，当o≤0时，y=，()在实数集R上单调递增．导函数符号正负交替的分界点，即在分界点处，()=0，为4．利用导

4、数比较大小此，我们可以用使函数导数为0的点来划分函数的单调区间．例4已知>1，求证：>In(1+)．3．利用导数求函数的单调区间的具体步骤是：①确定解析设_厂()=—In(1+)，>一1，，()的定义域；②计算导数f()；③求出，()=0的根；④⋯、．1，J一‘用f()=0的根将，()的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内_厂()的符号，进而确定-厂()的单调区间．当>1时，显然，()>0，二、导数在研究函数的单调性问题中的应用实例所以_厂()：—In(1+)在(1，+o。)上是增函数．1．利用导数

5、求函数的单调性又，(1)=1一In2>l—lne：0，即-厂(1)>0，例1讨论-厂()=log(3+5一2)(0>0且0≠0)的所以当>1时)>，(1)>0，即，()=—In(1+)单调性．>0，所以>ln(1+)(>1)．例5已知0、b为实数，且b>a>e，其中e为自然对数的解析函数的定义域是>÷或<一2．底，求证：口。>证法一因为b>0>e，所以要证n>b，只要证blna>()=j。(3。+5一2)a]nb．设，(b)=blna—alnb(b>e)，贝0，(b)=lna一。_．(6+5)log。eU一

6、(3—1)(+2)’因为b>o>e，所以ln0>1，且孚<1，所以(b)>0．O①若n>1，则当>_『1时，所以函数，(6)=blna—alnb在(e，+)上是增函数．loge>0，6x+5>0，(3x一1)(+2)>0，所以，(6)>，(n)=a]na—alna=0，即blna—alnb>0，所以blna>alnb，所以n>所以)>0，所以函数)在(÷，+)上是增函数；证法二要证口>b，只要证blna>alnb(e<Ⅱ<6)，当<一2时()<0，所以函数，()在(一，一2)上即证Tlnb是减函数．．设)=

7、(>e)，l正U②若0<0<1，则当>了1时()<0，则，()=<0，所以函数)在(÷，+o。)上是减函数；所以函数_厂()在(e，+)上是减函数．又因为e<Ⅱ_厂(6)，当<一2时()>0，所以函数)在(一，一2)上~plna>浙以b>b是增函数．．Ⅱ02．利用导数求函数的单调区间总之，利用导数解决有关函数的单调性问题时，其求解过例2求函数Y=÷—in(1+)+3的单调区间．程具有简捷、思路流畅等特点，其方法具有通性、一般性，这是初等方法无法比拟的．因此，作为一名高中数学教师，在进行这

8、解析函数y的定义域为一部分知识教学和遇到该类数学问题时，应要求学生要有意识{l1+>0}={l>一1}=(一1，+∞)，地应用导数知识解决与函数相关问题，切实提高解决这类问题，11一1的效率，培养学生的数学思维能力．Y一2一丽‘