浅议古典概型中的抽样问题

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1、浅议古典概型中的抽样问题靖江市第一中学侯琰摘要：古典概型是最基本的一种概率模型。在概率这一章中，古典概型占有很重要的地位。古典概型与实际问题联系紧密，案例千变万化，而解决古典概型最基本的思想是列举。本文针对古典概型中易错的放回与不放回，有序与无序问题进行探讨，从而归纳总结出解决古典概型中抽样问题的思想方法和解题技巧。　　关键词：古典概型抽样方法列举放回不放回有序无序苏教版数学3的古典概型，是在随机事件的概率之后，几何概型之前的情况下教学的。古典概型起着承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。在“随机事件的概率”这一节

2、中，已经提出了用频率近似估计概率的这种方法。而这种方法必须依赖大量的重复试验，操作起来并不实际，而古典概型的提出，避免了这个问题，而且得到的是概率精确值。古典概型（Classicalprobabilitymodel）必须满足条件：①所有基本事件有限个②每个基本事件发生的可能性都相等如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个，则每一个基本事件发生的概率都是，如果某个事件包含了其中的-9-个等可能的基本事件，则事件发生的概率为，由计算公式可以看出解决古典概型的关键是求出基本事件的总数和事件A包含的基本事件个数，一般有画韦恩图、列表格

3、、画树形图等列举方法。古典概型的案例千变万化，列举是基本思想，有的题目看似简单，但因学生概念理解不透、审题不清常常造成错解。因此如能配合分类分步、排列组合的思想，解决问题可事半功倍。古典概型中的放回与不放回，有序与无序是学生比较出错的问题。数学3的各章知识前后相辅相成，是比较连贯的。“算法”一章主讲完成一件事情的方法与步骤，“概率”则主讲完成一件事情的方法种数；“统计”一章中介绍的三种抽样方法均属于不放回抽样,“概率”这章则更进一步探讨放回与不放回抽样的概率问题。（结构如图）放回抽样（有序）①抽样方法不放回抽样排列（有序）②组

4、合（无序）③根据是否放回，抽样方法可以分成两类：①是一类；②③是一类。（是否放回的关键是看“被抽取的个体有无可能被重复抽取”。）根据是否有序，抽样方法可以分成两类：①②是一类；③是一类。（“有序”问题常出现的字眼：“依次”“逐次”“顺次”。放回抽样，一抽一放，必然有顺序，所以属于“有序”问题。凡“有序”问题，因为关键在于“按步骤完成事情”，所以用分步的思想来求总的基本事件、事件A的基本事件。而组合问题，不讲究次序，一般带有-9-“任取”“一次性抽取×件”等字眼，这类问题配合组合数求解比较方便。）下面通过一个例题以及变式来说明上

5、述问题：例1.在大小相同的6个球中，4个是红球，2个白球，若从中任意选2个，求两个都是红球的概率。【分析】关键字眼“任意选2个”，所以它属于不放回抽样的组合问题。解法一：记事件为“选取两球都是红球”，因为总的基本事件个数是指从6个球中任选2个，所以是；事件A的基本事件个数是从4个红球中任选2个，所以是。所以两个都是红球的概率答：所选的2个球都是红球的概率为.此题还可以用条件概率概率来解题：（此法不推荐，主要是为了说明变式训练1的错解）解法二：记事件为“选取两球都是红球”，选一个红球的概率是，选另一个红球的概率是，所以两个都是红

6、球的概率是。变式训练1：某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程，从班级中任选两名学生，则他们是选修不同课程的学生的概率是？-9-【错解】记“任选两名学生，他们是选修不同课程的学生”为事件A,选一个选修A的学生概率是，然后选一个选修B的学生概率是，所以他们是选修不同课程的学生的概率【分析】关键字眼“任选两名学生”，属于不放回抽样中的组合问题。学生受初中时代概率知识的影响，喜欢用概率相乘来进行解题，然而学生并不真正理解独立事件、条件概率的含义。此题和例1的不同之处在于，例1是“两个都是红球”，红球与红球之间无

7、顺序差异；变式训练1中选的两个学生，人与人不同，所以是有顺序差异的，要分类讨论：①先选A课程的学生，再选B课程的学生；②先选B课程的学生，再选A课程的学生。所以选修不同课程的学生的概率像这类题目不推荐学生用条件概率来做，容易出错。【正解】记“任选两名学生，他们是选修不同课程的学生”为事件A,因为总的基本事件个数是指从50名学生中任选2个，所以是；事件A的基本事件个数是从选修A的学生中任选一个，有15种选法；从选修B的学生中任选一个，有35种选法。所以任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率答：任选两名学生，他们是选修不同课

8、程的学生的概率为.-9-变式训练2：在大小相同的6个球中，4个是红球，2个白球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？【分析】关键字眼“从中任意选2个”，属于不放回抽样中的组合问题。题目所给的6个球中有4个红球，2个白球，我们可以根据不同的思路有不同的解法。