6.1微分中值定理

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1、《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具.另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理.本章以

2、中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用.§6.1微分中值定理教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础.教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系.教学重点：中值定理.教学难点：定理的证明.教学方法：系统讲解法.教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形

3、”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧的函数是y=f(x),x[a,b]的图像,点P的横坐标为.如点P处有切线,则f(x)在点处可导,且切线的斜率为;另一方面,弦AB所在的直线斜率为,曲线y=f(x)上点P的切线平行于弦AB.10《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及函数在端点的函数值.这样这个公式就把函数及其导数联系起来.在二者之间架起了一座桥梁,这座“桥”就是导数在研究函数方面应用的理论基础.鉴于,故把类似公式称为“中值公式”;把类似的定理称为中值定理

4、.剩下的问题是：中值定理何时成立呢？观察如下事实,可以发现：如果y=f(x)在[a,b]上不连续或不可导（无切线）,是不一定有上述结论的.换言之,如保证类似点P存在,曲线弧至少是连续的,而且处处有切线.反映到函数y=f(x)上,即要求y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.二、中值定理Lagrange中值定理若函数f满足以下条件：（1）f在[a,b]上连续;（2）f在(a,b)内可导.则在(a,b)内至少存在一点,使得.特别地,当f(a)=f(b)时,有如下Rolle定理：Rolle定理若f满足如下条件：（1）f[a,b];（2）f在(a,b)内

5、可导;（3）f(a)=f(b),则存在(a,b),使得.如把曲线弧用参数方程函数,则可得出以下中值定理：Cauchy定理若函数f,g（x＝g(u),y＝f(u),u[a,b]）满足如下条件：（1）;（2）f,g在(a,b)内可导;（3）至少有一个不为0;（4）g(a)g(b).在存在(a,b),使得.说明（1）几何意义：Rolle：在每一点都可导的连续曲线,如果曲线两端点高度相同,则至少存在一水平切线（在具有水平弦的可微曲线上有水平曲线）;Lagrang：可微曲线上存在一点,使其切线平行于端点的连线;Cauchy：视为曲线的参数;u=f(x),v=g(x),

6、x[a,b],则以v为横坐标,u为纵坐标可得曲线上有一点,该处切线与曲线端点连线平行.（2）三个定理关系如下：（3）三个定理中的条件都是充分但非必要.以Rolle定理为例,三个条件缺一不可.1）不可导,不一定存在;2）不连续,不一定存在;3）f(a)f(b),不一定存在.“不一定存在”意味着一般情况如下：Rolle定理不再成立.但仍可知有的情形发生.如y=sgnx,x10《数学分析》上册教案第六章微分中值定理及其应用[-1,1]不满足Rolle定理的任何条件,但存在无限多个(-1,1),使得.（4）Lagrang定理中涉及的公式：称之为“中值公式”.这个定理

7、也称为微分基本定理.中值公式有不同形式：（ⅰ）f(b)-f(a)=(b-a),(a,b);（ⅱ）f(b)-f(a)=,0<<1;（ⅲ）f(a+h)-f(a)=,0<<1.此处,中值公式对ab均成立.此时在a,b之间;（ⅱ）、（ⅲ）的好处在于无论a,b如何变化,易于控制.三、极值定义3（极值）若函数f在区间I上有定义,.若存在的邻域,使得对于任意的,有,则称f在点取得极大值,称点为极大值点.若存在的邻域,使得对于任意的,有,则称f在点取得极小值,称点为极小值点.极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.注1、极值是局部性概念,若是极值

8、,是和点附近的函数值比较而言的,和离较远的地方无关;